Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} + 4 y = 5$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , em que $P (t) = 4$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 4 d t}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{4 t + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{4 t}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{4 t}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + e^{4 t} (4 y) = e^{4 t} \cdot 5$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = e^{4 t} \cdot 5$

Etapa 2.3

Mova $5$ para a esquerda de $e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 5 \cdot e^{4 t}$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 5 e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 y e^{4 t} = 5 e^{4 t}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d t} [e^{4 t} y] = 5 e^{4 t}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{4 t} y] d t = \int 5 e^{4 t} d t$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{4 t} y = \int 5 e^{4 t} d t$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Como $5$ é constante com relação a $t$ , mova $5$ para fora da integral.

$e^{4 t} y = 5 \int e^{4 t} d t$

Etapa 6.2

Deixe $u = 4 t$ . Depois, $d u = 4 d t$ , então, $\frac{1}{4} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.2.1

Deixe $u = 4 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Diferencie $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [4 t]$

Etapa 6.2.1.2

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4 t$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 6.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 6.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{4 t} y = 5 \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Etapa 6.3

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 t} y = 5 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Etapa 6.4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$e^{4 t} y = 5 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Etapa 6.5

Combine $\frac{1}{4}$ e $5$ .

$e^{4 t} y = \frac{5}{4} \int e^{u} d u$

Etapa 6.6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{4 t} y = \frac{5}{4} (e^{u} + C)$

Etapa 6.7

Simplifique.

$e^{4 t} y = \frac{5}{4} e^{u} + C$

Etapa 6.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 t$ .

$e^{4 t} y = \frac{5}{4} e^{4 t} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{4 t} y = \frac{5}{4} e^{4 t} + C$ por $e^{4 t}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{4 t} y = \frac{5}{4} e^{4 t} + C$ por $e^{4 t}$ .

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{\frac{5}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{4 t}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{\frac{5}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{5}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Cancele o fator comum de $e^{4 t}$ .

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\frac{5}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Etapa 7.3.1.2

Divida $\frac{5}{4}$ por $1$ .

$y = \frac{5}{4} + \frac{C}{e^{4 t}}$