Cálculo Exemplos

$x^{2} d x + y e d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $x^{2} d x$ dos dois lados da equação.

$y e d y = - x^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y e d y = \int - x^{2} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Como $e$ é constante com relação a $y$ , mova $e$ para fora da integral.

$e \int y d y = \int - x^{2} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$e (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - x^{2} d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.3.1

Reescreva $e (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $e \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ .

$e \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Etapa 2.2.3.2

Combine $e$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Reescreva $- (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ como $- \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{e}{2} y^{2} = - \frac{1}{3} x^{3} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e} (\frac{e}{2} y^{2}) = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $\frac{2}{e} (\frac{e}{2} y^{2})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{e}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{2}{e} \cdot \frac{e y^{2}}{2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Combine.

$\frac{2 (e y^{2})}{e \cdot 2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (e y^{2})}{e \cdot 2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{e y^{2}}{e} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $e$ .

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Etapa 3.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e y^{2}}{e} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.4.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $\frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2}{e} (- \frac{x^{3}}{3} + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = \frac{2}{e} (- \frac{x^{3}}{3}) + \frac{2}{e} K$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $\frac{2}{e}$ por $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = - \frac{2 x^{3}}{e \cdot 3} + \frac{2}{e} K$

Etapa 3.2.2.1.1.4

Combine $\frac{2}{e}$ e $K$ .

$y^{2} = - \frac{2 x^{3}}{e \cdot 3} + \frac{2 K}{e}$

Etapa 3.2.2.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $e$ .

$y^{2} = - \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e}$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e}}$

Etapa 3.4

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e}}$ .

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Etapa 3.4.1

Para escrever $\frac{2 K}{e}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e} \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 3.4.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3 e$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique $\frac{2 K}{e}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K \cdot 3}{e \cdot 3}}$

Etapa 3.4.2.2

Reordene os fatores de $e \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K \cdot 3}{3 e}}$

Etapa 3.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{3} + 2 K \cdot 3}{3 e}}$

Etapa 3.4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.4.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{3} + 2 K \cdot 3$ .

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Etapa 3.4.4.1.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3}) + 2 K \cdot 3}{3 e}}$

Etapa 3.4.4.1.2

Fatore $2$ de $2 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{3 e}}$

Etapa 3.4.4.1.3

Fatore $2$ de $2 (- x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3} + K \cdot 3)}{3 e}}$

Etapa 3.4.4.2

Mova $3$ para a esquerda de $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3} + 3 K)}{3 e}}$

Etapa 3.4.5

Reescreva $\sqrt{\frac{2 (- x^{3} + 3 K)}{3 e}}$ como $\frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$

Etapa 3.4.6

Multiplique $\frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$ por $\frac{\sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}} \cdot \frac{\sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e}}$

Etapa 3.4.7

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.7.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$ por $\frac{\sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e} \sqrt{3 e}}$

Etapa 3.4.7.2

Eleve $\sqrt{3 e}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{1} \sqrt{3 e}}$

Etapa 3.4.7.3

Eleve $\sqrt{3 e}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{1} {\sqrt{3 e}}^{1}}$

Etapa 3.4.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.7.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{2}}$

Etapa 3.4.7.6

Reescreva ${\sqrt{3 e}}^{2}$ como $3 e$ .

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Etapa 3.4.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 e}$ como ${(3 e)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{({(3 e)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.4.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{1}}$

Etapa 3.4.7.6.5

Simplifique.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{3 e}$

Etapa 3.4.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.8.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K) (3 e)}}{3 e}$

Etapa 3.4.8.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (- x^{3} + 3 K) e}}{3 e}$

Etapa 3.4.9

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{6 (- x^{3} + 3 K) e}}{3 e}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + K)}}{3 e}$