Cálculo Exemplos

$y = x^{2} + 4 x$ solve $x \frac{d y}{d x} = x^{2} + y$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial.

$x y' = x^{2} + y$

Etapa 2

Encontre $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x)$

Etapa 2.2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 2.3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1$

Etapa 2.3.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$2 x + 4$

Etapa 2.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 2 x + 4$

Etapa 3

Substitua na equação diferencial determinada.

$x (2 x + 4) = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (2 x) + x \cdot 4 = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Etapa 4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x \cdot x + x \cdot 4 = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Etapa 4.3

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$2 x \cdot x + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Etapa 4.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Mova $x$ .

$2 (x \cdot x) + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Etapa 4.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + 4 \cdot x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

$2 x^{2} + 4 x = x^{2} + x^{2} + 4 x$

Etapa 4.5

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x = 2 x^{2} + 4 x$

Etapa 5

A solução determinada satisfaz a equação diferencial fornecida.

$y = x^{2} + 4 x$ é uma solução para $x y' = x^{2} + y$