Cálculo Exemplos

$(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = e^{x} + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + y^{2}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3

Como $e^{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $e^{x}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Etapa 1.5

Some $0$ e $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- \frac{1}{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{e^{x}}{y}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Etapa 2.4.3

Combine $e^{x}$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Como $- 2 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + 0$

Etapa 2.5.2

Some $y - \frac{e^{x}}{y}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $y - \frac{e^{x}}{y}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $y - \frac{e^{x}}{y}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $e^{x} + y^{2}$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $e^{x} + y^{2}$ por $M$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{e^{x} + y^{2}}$

Etapa 4.3.2

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiplique $\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y}{y} \cdot \frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Combine.

$\frac{y (y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y)}{y (e^{x} + y^{2})}$

Etapa 4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y \cdot y + y (- \frac{e^{x}}{y}) + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{x}}{y}$ para o numerador.

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Etapa 4.3.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Etapa 4.3.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y \cdot y - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Etapa 4.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Etapa 4.3.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y \cdot y}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Etapa 4.3.5.3

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.3.1

Mova $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 (y \cdot y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Etapa 4.3.5.3.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Etapa 4.3.5.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Etapa 4.3.5.5

Subtraia $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Etapa 4.3.6

Fatore $y$ de $y e^{x} + y \cdot y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.1

Fatore $y$ de $y e^{x}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y \cdot y^{2}}$

Etapa 4.3.6.2

Fatore $y$ de $y \cdot y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y (y^{2})}$

Etapa 4.3.6.3

Fatore $y$ de $y (e^{x}) + y (y^{2})$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

Etapa 4.3.7

Cancele o fator comum de $- y^{2} - e^{x}$ e $e^{x} + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1

Fatore $- 1$ de $- y^{2}$ .

$\frac{- (y^{2}) - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

Etapa 4.3.7.2

Fatore $- 1$ de $- e^{x}$ .

$\frac{- (y^{2}) - (e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

Etapa 4.3.7.3

Fatore $- 1$ de $- (y^{2}) - (e^{x})$ .

$\frac{- (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

Etapa 4.3.7.4

Reescreva $- (y^{2} + e^{x})$ como $- 1 (y^{2} + e^{x})$ .

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

Etapa 4.3.7.5

Reordene os termos.

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

Etapa 4.3.7.6

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

Etapa 4.3.7.7

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{y}$

Etapa 4.3.8

Substitua $e^{x} + y^{2}$ por $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Simplifique $- \ln (| y |)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Etapa 5.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $e^{x} + y^{2}$ por $\frac{1}{y}$ .

$(e^{x} + y^{2}) \frac{1}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $e^{x} + y^{2}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) \frac{1}{y} d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Etapa 6.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Para escrever $x y$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y}{y} - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Etapa 6.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Etapa 6.5.3

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.3.1

Mova $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x (y \cdot y) - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Etapa 6.5.3.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Etapa 6.5.4

Para escrever $- 2 y^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2} \cdot \frac{y}{y}}{y} d y = 0$

Etapa 6.5.5

Combine $- 2 y^{2}$ e $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} + \frac{- 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

Etapa 6.5.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

Etapa 6.5.7

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.1

Mova $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y \cdot y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

Etapa 6.5.7.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y^{1} y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

Etapa 6.5.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{1 + 2}}{y}}{y} d y = 0$

Etapa 6.5.7.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}}{y} d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y} d y = 0$

Etapa 6.7

Multiplique $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Multiplique $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y \cdot y} d y = 0$

Etapa 6.7.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y} d y = 0$

Etapa 6.7.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y^{1}} d y = 0$

Etapa 6.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1 + 1}} d y = 0$

Etapa 6.7.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = \frac{e^{x} + y^{2}}{y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida a fração em diversas frações.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} + \frac{y^{2}}{y} d x$

Etapa 8.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y^{2}}{y} d x$

Etapa 8.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y} d x$

Etapa 8.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d x$

Etapa 8.3.2.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

Etapa 8.3.2.3

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

Etapa 8.3.2.4

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y}{1} d x$

Etapa 8.3.2.5

Divida $y$ por $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int y d x$

Etapa 8.4

Como $\frac{1}{y}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{y}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int e^{x} d x + \int y d x$

Etapa 8.5

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + \int y d x$

Etapa 8.6

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + y x + C$

Etapa 8.7

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $e^{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{e^{x}}{y}$ em relação a $y$ é $e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$e^{x} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Etapa 11.4

Avalie $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Etapa 11.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Etapa 11.4.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Etapa 11.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x} (- \frac{1}{y^{2}}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Etapa 11.6.2

Combine $e^{x}$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{e^{x}}{y^{2}} + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Etapa 11.6.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Subtraia $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} - \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2}) - - e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.2.1

Multiplique $- - e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + 1 e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2.1.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Combine os termos opostos em $- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.4.1

Some $- e^{x}$ e $e^{x}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 0 + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2

Some $- x y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.1

Fatore $y^{2}$ de $- x y^{2} + 2 y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.1.1

Fatore $y^{2}$ de $- x y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.2

Fatore $y^{2}$ de $2 y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2.2

Divida $- x + 2 y$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y = 0$

Etapa 12.1.1.6

Combine os termos opostos em $\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.6.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 + 2 y = 0$

Etapa 12.1.1.6.2

Some $\frac{d g}{d y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 y = 0$

Etapa 12.1.2

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- 2 y$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y d y$

Etapa 13.3

Como $- 2$ é constante com relação a $y$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$g (y) = - 2 \int y d y$

Etapa 13.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 13.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1

Reescreva $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Etapa 13.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Etapa 13.5.2.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.2.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

Etapa 13.5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

Etapa 13.5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Etapa 13.5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

Etapa 13.5.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$g (y) = - y^{2} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x - y^{2} + C$