Cálculo Exemplos

$(x + 1) (y + 1) d y - x y^{2} d x = 0$

Etapa 1

Some $x y^{2} d x$ aos dois lados da equação.

$(x + 1) (y + 1) d y = x y^{2} d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(x + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{(x + 1) y^{2}} ((x + 1) (y + 1)) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x + 1$ de $(x + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (y^{2})} ((x + 1) (y + 1)) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(x + 1) y^{2}} ((x + 1) (y + 1)) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} (y + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{y^{2}}$ por $y + 1$ .

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $y^{2}$ de $(x + 1) y^{2}$ .

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} (x + 1)} (x y^{2}) d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} (x + 1)} (y^{2} x) d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} (x + 1)} (y^{2} x) d x$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Etapa 3.4

Combine $\frac{1}{x + 1}$ e $x$ .

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y + 1}{y^{2}} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.2.1.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (y + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y + 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int (y + 1) y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 4.2.2

Multiplique $(y + 1) y^{- 2}$ .

$\int y \cdot y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 4.2.3

Simplifique.

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Etapa 4.2.3.1

Multiplique $y$ por $y^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.3.1.1

Multiplique $y$ por $y^{- 2}$ .

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Etapa 4.2.3.1.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int y^{1} y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 4.2.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int y^{1 - 2} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 4.2.3.1.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\int y^{- 1} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique $y^{- 2}$ por $1$ .

$\int y^{- 1} + y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 4.2.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 4.2.5

A integral de $y^{- 1}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 4.2.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - y^{- 1} + C_{2} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 4.2.7

Simplifique.

$\ln (| y |) - \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 4.2.8

Reordene os termos.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $x$ por $x + 1$ .

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Etapa 4.3.1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Etapa 4.3.1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Etapa 4.3.1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Etapa 4.3.1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Etapa 4.3.1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Etapa 4.3.1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 4.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 4.3.3

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 4.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 4.3.5

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.3.5.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.3.5.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 4.3.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.3.5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.3.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} - (\ln (| u |) + C_{5})$

Etapa 4.3.7

Simplifique.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x - \ln (| u |) + C_{6}$

Etapa 4.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) = x - \ln (| x + 1 |) + C$