Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = y^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{\frac{1}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{3}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int y^{- \frac{1}{3}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- \frac{1}{3}}$ com relação a $y$ é $\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} = x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3} (x + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} = \frac{2}{3} (x + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Combine.

$\frac{2 (3 y^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (x + K)$

Etapa 3.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 y^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (x + K)$

Etapa 3.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{3} = \frac{2}{3} (x + K)$

Etapa 3.2.1.1.5

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{3} = \frac{2}{3} (x + K)$

Etapa 3.2.1.1.6

Divida $y^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (x + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $\frac{2}{3} (x + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} K$

Etapa 3.2.2.1.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $x$ .

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} K$

Etapa 3.2.2.1.3

Combine $\frac{2}{3}$ e $K$ .

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3}$

Etapa 3.3

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{3}{2}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Simplifique ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 3.4.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 3.4.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.4.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.4.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.4.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.4.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = \pm {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.4.1.2

Simplifique.

$y = \pm {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = {(\frac{2 x}{3} + K)}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{2 x}{3} + K)}^{\frac{3}{2}}$