Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 10 x^{2} y + 5 x^{2} + 6 y + 3$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{d y}{d x} = (10 x^{2} y + 5 x^{2}) + 6 y + 3$

Etapa 1.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{2} (2 y + 1) + 3 (2 y + 1)$

Etapa 1.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 y + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (2 y + 1) (5 x^{2} + 3)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) (5 x^{2} + 3))$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $2 y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) (5 x^{2} + 3))$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = 5 x^{2} + 3$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{2 y + 1} d y = (5 x^{2} + 3) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{2 y + 1} d y = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u = 2 y + 1$ . Depois, $d u = 2 d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 2 y + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 2.2.1.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Etapa 2.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 y + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \int 5 x^{2} d x + \int 3 d x$

Etapa 2.3.2

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 \int x^{2} d x + \int 3 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 3 d x$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x + C_{4}$

Etapa 2.3.5.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) = \frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |)) = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| 2 y + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{5}{3}$ e $x^{3}$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x + C)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 \frac{5 x^{3}}{3} + 2 (3 x) + 2 C$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Multiplique $2 \frac{5 x^{3}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1.1

Combine $2$ e $\frac{5 x^{3}}{3}$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{2 (5 x^{3})}{3} + 2 (3 x) + 2 C$

Etapa 3.2.2.1.3.1.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{10 x^{3}}{3} + 2 (3 x) + 2 C$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 2 y + 1 |)} = e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} = | 2 y + 1 |$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $| 2 y + 1 | = e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$ .

$| 2 y + 1 | = e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$

Etapa 3.5.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$2 y + 1 = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$

Etapa 3.5.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 y = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1$

Etapa 3.5.4

Divida cada termo em $2 y = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Divida cada termo em $2 y = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.5.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.2.1

Para escrever $6 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x \cdot \frac{3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3.2.2

Combine $6 x$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + \frac{6 x \cdot 3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3} + 6 x \cdot 3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.2.4.1

Fatore $2 x$ de $10 x^{3} + 6 x \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.2.4.1.1

Fatore $2 x$ de $10 x^{3}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2}) + 6 x \cdot 3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3.2.4.1.2

Fatore $2 x$ de $6 x \cdot 3$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2}) + 2 x (3 \cdot 3)}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3.2.4.1.3

Fatore $2 x$ de $2 x (5 x^{2}) + 2 x (3 \cdot 3)$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 3 \cdot 3)}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3.2.4.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9)}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3.2.5

Para escrever $2 C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9)}{3} + 2 C \cdot \frac{3}{3}} - 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3.2.6

Combine $2 C$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9)}{3} + \frac{2 C \cdot 3}{3}} - 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9) + 2 C \cdot 3}{3}} - 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3.2.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.2.8.1

Fatore $2$ de $2 x (5 x^{2} + 9) + 2 C \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.2.8.1.1

Fatore $2$ de $2 x (5 x^{2} + 9)$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2} + 9)) + 2 C \cdot 3}{3}} - 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3.2.8.1.2

Fatore $2$ de $2 C \cdot 3$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2} + 9)) + 2 (C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3.2.8.1.3

Fatore $2$ de $2 (x (5 x^{2} + 9)) + 2 (C \cdot 3)$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2} + 9) + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3.2.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2}) + x \cdot 9 + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3.2.8.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x \cdot x^{2} + x \cdot 9 + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3.2.8.4

Mova $9$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x \cdot x^{2} + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3.2.8.5

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.2.8.5.1

Mova $x^{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 (x^{2} x) + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3.2.8.5.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.2.8.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 (x^{2} x^{1}) + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3.2.8.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{2 + 1} + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3.2.8.5.3

Some $2$ e $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Etapa 3.5.4.3.2.8.6

Mova $3$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 x + 3 C)}{3}} - 1}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 x + C)}{3}} - 1}{2}$