Cálculo Exemplos

$(e^{2 x} + 5) d y + y e^{2 x} d x = 0$

Etapa 1

Subtraia $y e^{2 x} d x$ dos dois lados da equação.

$(e^{2 x} + 5) d y = - y e^{2 x} d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y}$ .

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x} + 5$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $e^{2 x} + 5$ de $(e^{2 x} + 5) y$ .

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) (y)} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (y e^{2 x}) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y}$ para o numerador.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(e^{2 x} + 5) y} (y e^{2 x}) d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $y$ de $(e^{2 x} + 5) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y e^{2 x}) d x$

Etapa 3.3.3

Fatore $y$ de $y e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y (e^{2 x})) d x$

Etapa 3.3.4

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y e^{2 x}) d x$

Etapa 3.3.5

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{e^{2 x} + 5} e^{2 x} d x$

Etapa 3.4

Combine $\frac{- 1}{e^{2 x} + 5}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

Etapa 3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

Etapa 4.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

Etapa 4.3.2

Deixe $u_{2} = e^{2 x} + 5$ . Depois, $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.3.2.1

Deixe $u_{2} = e^{2 x} + 5$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Diferencie $e^{2 x} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} + 5]$

Etapa 4.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{2 x} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 4.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Etapa 4.3.2.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 4.3.2.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 4.3.2.1.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 4.3.2.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 4.3.2.1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 4.3.2.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 4.3.2.1.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 4.3.2.1.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 4.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.3.2.1.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 e^{2 x} + 0$

Etapa 4.3.2.1.4.2

Some $2 e^{2 x}$ e $0$ .

$2 e^{2 x}$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 4.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 4.3.5

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 4.3.6

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 4.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{2 x} + 5$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| e^{2 x} + 5 |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| e^{2 x} + 5 |) + C$