Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - y = y^{3}$

Etapa 1

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Etapa 2

Resolva a equação para $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 3

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ .

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Etapa 4.1

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Multiplique os expoentes em ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Etapa 4.5

Simplifique.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.6.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 4.6.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.2.1

Multiplique $v^{\frac{1}{2}}$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 4.6.2.2

Subtraia $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 4.6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = v$ .

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Etapa 4.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.13

Combine $\frac{1}{2}$ e $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.14

Mova $v^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 4.15

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Etapa 4.16

Combine $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ e $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Etapa 4.17

Reescreva $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ como um produto.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Etapa 4.18

Multiplique $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Etapa 4.19

Eleve $v$ à potência de $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 4.20

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 4.21

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 4.22

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 4.23

Some $2$ e $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5

Substitua $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- \frac{1}{2}}$ por $y$ na equação original $\frac{d y}{d x} - y = y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 6.1

Separe as variáveis.

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Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d v}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} = 0$

Etapa 6.1.1.1.2

Multiplique os expoentes em ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

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Etapa 6.1.1.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} = 0$

Etapa 6.1.1.1.2.2

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

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Etapa 6.1.1.1.2.2.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- 3 (\frac{1}{2})} = 0$

Etapa 6.1.1.1.2.2.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{\frac{- 3}{2}} = 0$

Etapa 6.1.1.1.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- \frac{3}{2}} = 0$

Etapa 6.1.1.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 6.1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d v}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.1.1.2.1

Some $\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ aos dois lados da equação.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.1.1.2.2

Some $\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ aos dois lados da equação.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6.1.1.3

Divida cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 6.1.1.3.1

Divida cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}}{- 1} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Etapa 6.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.1.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}}{1} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Etapa 6.1.1.3.2.2

Divida $\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Etapa 6.1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Etapa 6.1.1.3.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ como $- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Etapa 6.1.1.3.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6.1.1.3.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ como $- \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6.1.1.4

Multiplique os dois lados por $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.1.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.5.1.1

Simplifique $\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.5.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.1.1.5.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.5.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.1.1.5.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.1.1.5.1.1.3

Cancele o fator comum de $v^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.5.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.1.1.5.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.1.1.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.5.2.1

Simplifique $(- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.5.2.1.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.1.1.5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $v^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.5.2.1.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ para o numerador.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.1.1.5.2.1.1.2.2

Fatore $v^{\frac{1}{2}}$ de $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (v^{\frac{1}{2}} (2 v^{\frac{2}{2}})) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.1.1.5.2.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (v^{\frac{1}{2}} (2 v^{\frac{2}{2}})) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.1.1.5.2.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} = - 1 (2 v^{\frac{2}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.1.1.5.2.1.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.1.1.5.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $v^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.5.2.1.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ para o numerador.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.1.1.5.2.1.1.4.2

Fatore $v^{\frac{3}{2}}$ de $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (v^{\frac{3}{2}} \cdot 2)$

Etapa 6.1.1.5.2.1.1.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (v^{\frac{3}{2}} \cdot 2)$

Etapa 6.1.1.5.2.1.1.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 2$

Etapa 6.1.1.5.2.1.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - 2$

Etapa 6.1.1.5.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.5.2.1.2.1

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{1} - 2$

Etapa 6.1.1.5.2.1.2.2

Simplifique.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v - 2$

Etapa 6.1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{- 2 v - 2}$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- 2 v - 2} (- 2 v - 2)$

Etapa 6.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Fatore $2$ de $- 2 v - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2 v$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v) - 2} (- 2 v - 2)$

Etapa 6.1.3.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v) + 2 (- 1)} (- 2 v - 2)$

Etapa 6.1.3.1.3

Fatore $2$ de $2 (- v) + 2 (- 1)$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v - 1)} (- 2 v - 2)$

Etapa 6.1.3.2

Multiplique $\frac{1}{2 (- v - 1)}$ por $- 2 v - 2$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v - 2}{2 (- v - 1)}$

Etapa 6.1.3.3

Cancele o fator comum de $- 2 v - 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.3.1

Fatore $2$ de $- 2 v$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v) - 2}{2 (- v - 1)}$

Etapa 6.1.3.3.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v) + 2 \cdot - 1}{2 (- v - 1)}$

Etapa 6.1.3.3.3

Fatore $2$ de $2 (- v) + 2 (- 1)$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v - 1)}{2 (- v - 1)}$

Etapa 6.1.3.3.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v - 1)}{2 (- v - 1)}$

Etapa 6.1.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- v - 1}{- v - 1}$

Etapa 6.1.3.4

Cancele o fator comum de $- v - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- v - 1}{- v - 1}$

Etapa 6.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = 1$

Etapa 6.1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{- 2 v - 2} d v = 1 d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{- 2 v - 2} d v = \int d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Deixe $u_{2} = - 2 v - 2$ . Depois, $d u_{2} = - 2 d v$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = d v$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Deixe $u_{2} = - 2 v - 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Diferencie $- 2 v - 2$ .

$\frac{d}{d v} [- 2 v - 2]$

Etapa 6.2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 v - 2$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 2]$ .

$\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 2]$

Etapa 6.2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d v} [- 2 v]$ .

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Etapa 6.2.2.1.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $- 2 v$ em relação a $v$ é $- 2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$- 2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 2]$

Etapa 6.2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 2]$

Etapa 6.2.2.1.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d v} [- 2]$

Etapa 6.2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 6.2.2.1.1.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $- 2$ em relação a $v$ é $0$ .

$- 2 + 0$

Etapa 6.2.2.1.1.4.2

Some $- 2$ e $0$ .

$- 2$

Etapa 6.2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.2.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Etapa 6.2.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d x$

Etapa 6.2.2.5

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int d x$

Etapa 6.2.2.6

Simplifique.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int d x$

Etapa 6.2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 2 v - 2$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) + C_{1} = \int d x$

Etapa 6.2.3

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) = x + C$

Etapa 6.3

Resolva $v$ .

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Etapa 6.3.1

Multiplique os dois lados da equação por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |)) = - 2 (x + C)$

Etapa 6.3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 6.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1.1

Simplifique $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |))$ .

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Etapa 6.3.2.1.1.1

Combine $\ln (| - 2 v - 2 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| - 2 v - 2 |)}{2}) = - 2 (x + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.2.1.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| - 2 v - 2 |)}{2}$ para o numerador.

$- 2 \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$- - \ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.3

Multiplique.

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Etapa 6.3.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

Etapa 6.3.2.1.1.3.2

Multiplique $\ln (| - 2 v - 2 |)$ por $1$ .

$\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 x - 2 C$

Etapa 6.3.3

Para resolver $v$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| - 2 v - 2 |)} = e^{- 2 x - 2 C}$

Etapa 6.3.4

Reescreva $\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 x - 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 x - 2 C} = | - 2 v - 2 |$

Etapa 6.3.5

Resolva $v$ .

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Etapa 6.3.5.1

Reescreva a equação como $| - 2 v - 2 | = e^{- 2 x - 2 C}$ .

$| - 2 v - 2 | = e^{- 2 x - 2 C}$

Etapa 6.3.5.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$- 2 v - 2 = \pm e^{- 2 x - 2 C}$

Etapa 6.3.5.3

Some $2$ aos dois lados da equação.

$- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$

Etapa 6.3.5.4

Divida cada termo em $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 6.3.5.4.1

Divida cada termo em $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

Etapa 6.3.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 6.3.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

Etapa 6.3.5.4.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

Etapa 6.3.5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.5.4.3.1.1

Simplifique $\frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{2}{- 2}$

Etapa 6.3.5.4.3.1.2

Divida $2$ por $- 2$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} - 1$

Etapa 6.3.5.4.3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 6.3.5.4.3.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.3.5.4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} - 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.3.5.4.3.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} - 2}{2}$

Etapa 6.4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.4.1

Simplifique a constante de integração.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x + C} - 2}{2}$

Etapa 6.4.2

Reescreva $e^{- 2 x + C}$ como $e^{- 2 x} e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x} e^{C} - 2}{2}$

Etapa 6.4.3

Reordene $e^{- 2 x}$ e $e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 x} - 2}{2}$

Etapa 6.4.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$v = \frac{C e^{- 2 x} - 2}{2}$

Etapa 7

Substitua $y^{- 2}$ por $v$ .

$y^{- 2} = \frac{C e^{- 2 x} - 2}{2}$