Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{y}}{2 x + 1}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{2 x + 1}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $\sqrt{y}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{2 x + 1}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x + 1}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 2.2.1.2

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 2.2.1.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 2.2.1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $y$ é $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = 2 x + 1$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = 2 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.3.1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 2.3.1.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 2.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$ por $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.1.1

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.1.2

Reescreva $\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.1.3

Simplifique $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.1.4

Multiplique os expoentes em ${({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.1.3.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.1.4.2

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 3.1.3.1.4.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}) + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.1.4.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.2

Para escrever $\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1.3.3.1

Combine $\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ e $\frac{2}{2}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2 + C}{2}$

Etapa 3.1.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.3.4.1

Multiplique $\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2$ .

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Etapa 3.1.3.4.1.1

Reordene $\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ e $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \cdot \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C}{2}$

Etapa 3.1.3.4.1.2

Simplifique $2 \cdot \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}) + C}{2}$

Etapa 3.1.3.4.2

Multiplique os expoentes em ${({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Etapa 3.1.3.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4} \cdot 2}) + C}{2}$

Etapa 3.1.3.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.1.3.4.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}) + C}{2}$

Etapa 3.1.3.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}) + C}{2}$

Etapa 3.1.3.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2}$

Etapa 3.2

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o expoente.

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Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.2

Simplifique.

$y = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Divida a fração $\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}{2}$ em duas frações.

$y = {(\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{C}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1.2.1

Reescreva $\frac{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y = {(\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Simplifique $\frac{1}{2} \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$y = {(\ln ({({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Multiplique os expoentes em ${({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = {(\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C)}^{2}$