Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (2 + y)}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{2 + y}$ .

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} \cdot \frac{3 (2 + y)}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $2 + y$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $2 + y$ de $3 (2 + y)$ .

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} \cdot \frac{(2 + y) \cdot 3}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} \cdot \frac{(2 + y) \cdot 3}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(3 - x)}^{2}}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{2 + y} d y = \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{2 + y} d y = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = 2 + y$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = 2 + y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 + y$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u_{2} = 3 - x$ . Depois, $d u_{2} = - d x$ , então, $- d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u_{2} = 3 - x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Mova ${u_{2}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.3

Multiplique os expoentes em ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.5.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- 2}$ com relação a $u_{2}$ é $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Reescreva $- 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ como $- 3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2

Combine $3$ e $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \frac{3}{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 - x$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \frac{3}{3 - x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| 2 + y |) = \frac{3}{3 - x} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 2 + y |)} = e^{\frac{3}{3 - x} + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| 2 + y |) = \frac{3}{3 - x} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{3}{3 - x} + C} = | 2 + y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| 2 + y | = e^{\frac{3}{3 - x} + C}$ .

$| 2 + y | = e^{\frac{3}{3 - x} + C}$

Etapa 3.3.2

Simplifique $e^{\frac{3}{3 - x} + C}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$| 2 + y | = e^{\frac{3}{3 - x} + \frac{C (3 - x)}{3 - x}}$

Etapa 3.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + C (3 - x)}{3 - x}}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + C \cdot 3 + C (- x)}{3 - x}}$

Etapa 3.3.2.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $C$ .

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + 3 \cdot C + C (- x)}{3 - x}}$

Etapa 3.3.2.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}}$

Etapa 3.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$2 + y = \pm e^{\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}}$

Etapa 3.3.4

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.4.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y = \pm e^{\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}} - 2$

Etapa 3.3.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.4.2.1

Divida a fração $\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}$ em duas frações.

$y = \pm e^{\frac{3 + 3 C}{3 - x} + \frac{- C x}{3 - x}} - 2$

Etapa 3.3.4.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.4.2.2.1

Fatore $3$ de $3 + 3 C$ .

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Etapa 3.3.4.2.2.1.1

Fatore $3$ de $3$ .

$y = \pm e^{\frac{3 \cdot 1 + 3 C}{3 - x} + \frac{- C x}{3 - x}} - 2$

Etapa 3.3.4.2.2.1.2

Fatore $3$ de $3 \cdot 1 + 3 C$ .

$y = \pm e^{\frac{3 (1 + C)}{3 - x} + \frac{- C x}{3 - x}} - 2$

Etapa 3.3.4.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \pm e^{\frac{3 (1 + C)}{3 - x} - \frac{C x}{3 - x}} - 2$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm e^{\frac{C}{3 - x} - \frac{C x}{3 - x}} - 2$