Cálculo Exemplos

$(x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}) d x + (2 m x^{2} y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$

Etapa 1.2.2

Como $x^{4} e^{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{4} e^{x}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 2 m x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 m x y^{2}$ em relação a $y$ é $- 2 m x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 m x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 m x (2 y)$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 4 m x y$

Etapa 1.4

Subtraia $4 m x y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 m x y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 m x^{2} y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 m x^{2} y]$

Etapa 2.2

Como $2 m y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 m x^{2} y$ em relação a $x$ é $2 m y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 m y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 m y (2 x)$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 m y x$

Etapa 2.4.2

Reordene os fatores de $4 m y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 m x y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $- 4 m x y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $4 m x y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 4 m x y = 4 m x y$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 4 m x y = 4 m x y$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- 4 m x y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 4 m x y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $4 m x y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 4 m x y - (4 m x y)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $2 m x^{2} y$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $2 m x^{2} y$ por $N$ .

$\frac{- 4 m x y - (4 m x y)}{2 m x^{2} y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $m x y$ de $- 4 m x y - 1 \cdot 4 m x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Fatore $m x y$ de $- 4 m x y$ .

$\frac{m x y (- 4) - 1 \cdot 4 m x y}{2 m x^{2} y}$

Etapa 4.3.2.1.2

Fatore $m x y$ de $- 1 \cdot 4 m x y$ .

$\frac{m x y (- 4) + m x y (- 1 \cdot 4)}{2 m x^{2} y}$

Etapa 4.3.2.1.3

Fatore $m x y$ de $m x y (- 4) + m x y (- 1 \cdot 4)$ .

$\frac{m x y (- 4 - 1 \cdot 4)}{2 m x^{2} y}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{m x y (- 4 - 4)}{2 m x^{2} y}$

Etapa 4.3.2.3

Subtraia $4$ de $- 4$ .

$\frac{m x y \cdot - 8}{2 m x^{2} y}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $m$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{m x y \cdot - 8}{2 m x^{2} y}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y \cdot - 8}{2 x^{2} y}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Fatore $x$ de $x y \cdot - 8$ .

$\frac{x (y \cdot - 8)}{2 x^{2} y}$

Etapa 4.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.1

Fatore $x$ de $2 x^{2} y$ .

$\frac{x (y \cdot - 8)}{x (2 x y)}$

Etapa 4.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (y \cdot - 8)}{x (2 x y)}$

Etapa 4.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y \cdot - 8}{2 x y}$

Etapa 4.3.5

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \cdot - 8}{2 x y}$

Etapa 4.3.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 8}{2 x}$

Etapa 4.3.6

Cancele o fator comum de $- 8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x}$

Etapa 4.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 (x)}$

Etapa 4.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x}$

Etapa 4.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 4}{x}$

Etapa 4.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Etapa 5.2

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 5.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique $- 4 \ln (| x |)$ movendo $- 4$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{- 4}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}) d x + 2 m x^{2} y d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$(x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Etapa 6.3

Fatore $x$ de $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore $x$ de $x^{4} e^{x}$ .

$\frac{x (x^{3} e^{x}) - 2 m x y^{2}}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Etapa 6.3.2

Fatore $x$ de $- 2 m x y^{2}$ .

$\frac{x (x^{3} e^{x}) + x (- 2 m y^{2})}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Etapa 6.3.3

Fatore $x$ de $x (x^{3} e^{x}) + x (- 2 m y^{2})$ .

$\frac{x (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x \cdot x^{3}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Etapa 6.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x \cdot x^{3}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Etapa 6.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $2 m x^{2} y$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + 2 m x^{2} y \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Etapa 6.6

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Fatore $x^{2}$ de $2 m x^{2} y$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + x^{2} (2 m y) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Etapa 6.6.2

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + x^{2} (2 m y) \frac{1}{x^{2} x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.6.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + x^{2} (2 m y) \frac{1}{x^{2} x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.6.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + 2 m y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.7

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + m y \frac{2}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.8

Combine $m$ e $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + y \frac{m \cdot 2}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.9

Combine $y$ e $\frac{m \cdot 2}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + \frac{y (m \cdot 2)}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.10

Mova $2$ para a esquerda de $y m$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + \frac{2 y m}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 y m}{x^{2}} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = \frac{2 y m}{x^{2}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Como $\frac{2 m}{x^{2}}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{2 m}{x^{2}}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2}} \int y d y$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 8.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Reescreva $\frac{2 m}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $\frac{2 m}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Multiplique $\frac{2 m}{x^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2} \cdot 2} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 m}{2 \cdot x^{2}} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.3

Multiplique $2$ por $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 m}{2 x^{2}} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{2 m}{2 x^{2}} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{m}{x^{2}} y^{2} + C$

Etapa 8.3.2.5

Combine $\frac{m}{x^{2}}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $m y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{m y^{2}}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $m y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$m y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$m y^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$m y^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$m y^{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$m y^{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$m y^{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m y^{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$m y^{2} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$m y^{2} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.3.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$m y^{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$m y^{2} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.3.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$m y^{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$m y^{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$m y^{2} (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$m y^{2} \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$m y^{2} (- \frac{2}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.5.2.3

Combine $m$ e $\frac{2}{x^{3}}$ .

$y^{2} (- \frac{m \cdot 2}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.5.2.4

Combine $y^{2}$ e $\frac{m \cdot 2}{x^{3}}$ .

$- \frac{y^{2} (m \cdot 2)}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.5.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $m$ .

$- \frac{y^{2} (2 \cdot m)}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.5.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$- \frac{2 y^{2} m}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 11.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{2} m}{x^{3}} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Subtraia $\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{2} m}{x^{3}} - \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - (x^{3} e^{x}) - (- 2 m y^{2})}{x^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - x^{3} e^{x} + 2 m y^{2}}{x^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Combine os termos opostos em $- 2 y^{2} m - x^{3} e^{x} + 2 m y^{2}$ .

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Etapa 12.1.1.4.1

Reorganize os fatores nos termos $- 2 y^{2} m$ e $2 m y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - x^{3} e^{x} + 2 y^{2} m}{x^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2

Some $- 2 y^{2} m$ e $2 y^{2} m$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} e^{x} + 0}{x^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.3

Some $- x^{3} e^{x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} e^{x}}{x^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1.5.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 12.1.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} e^{x}}{x^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.2

Divida $- 1 e^{x}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 1 e^{x} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2

Reescreva $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} - e^{x} = 0$

Etapa 12.1.2

Some $e^{x}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $e^{x}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int e^{x} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int e^{x} d x$

Etapa 13.3

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$g (x) = e^{x} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + e^{x} + C$