Cálculo Exemplos

$\frac{d F}{d x} = - 5 e^{x} - 5 x$ , $F (0) = - 6$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d F = (- 5 e^{x} - 5 x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d F = \int - 5 e^{x} - 5 x d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$F + C_{1} = \int - 5 e^{x} - 5 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$F + C_{1} = \int - 5 e^{x} d x + \int - 5 x d x$

Etapa 2.3.2

Como $- 5$ é constante com relação a $x$ , mova $- 5$ para fora da integral.

$F + C_{1} = - 5 \int e^{x} d x + \int - 5 x d x$

Etapa 2.3.3

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$F + C_{1} = - 5 (e^{x} + C_{2}) + \int - 5 x d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 5$ é constante com relação a $x$ , mova $- 5$ para fora da integral.

$F + C_{1} = - 5 (e^{x} + C_{2}) - 5 \int x d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$F + C_{1} = - 5 (e^{x} + C_{2}) - 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Simplifique.

$F + C_{1} = - 5 e^{x} - 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.1

Combine $- 5$ e $\frac{1}{2}$ .

$F + C_{1} = - 5 e^{x} + \frac{- 5}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$F + C_{1} = - 5 e^{x} - \frac{5}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.7

Reordene os termos.

$F + C_{1} = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $- 6$ por $F$ em $F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + K$ .

$- 6 = - \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K = - 6$ .

$- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K = - 6$

Etapa 4.2

Simplifique $- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{5}{2} \cdot 0 - 5 e^{0} + K = - 6$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- \frac{5}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{5}{2}) - 5 e^{0} + K = - 6$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique $0$ por $\frac{5}{2}$ .

$0 - 5 e^{0} + K = - 6$

Etapa 4.2.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 - 5 \cdot 1 + K = - 6$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$0 - 5 + K = - 6$

Etapa 4.2.2

Subtraia $5$ de $0$ .

$- 5 + K = - 6$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$K = - 6 + 5$

Etapa 4.3.2

Some $- 6$ e $5$ .

$K = - 1$

Etapa 5

Substitua $- 1$ por $K$ em $F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + K$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $- 1$ por $K$ .

$F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} - 1$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{5}{2}$ .

$F = - \frac{x^{2} \cdot 5}{2} - 5 e^{x} - 1$

Etapa 5.2.2

Mova $5$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$F = - \frac{5 x^{2}}{2} - 5 e^{x} - 1$