Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = x y^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para se adequar à técnica de Bernoulli.

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Etapa 1.1

Fatore $y$ de $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = x y^{2}$

Etapa 1.2

Reordene $y$ e $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x y^{2}$

Etapa 2

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Etapa 3

Resolva a equação para $y$ .

$y = v^{- 1}$

Etapa 4

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Etapa 5

Calcule a derivada de $v^{- 1}$ com relação a $x$ .

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Etapa 5.1

Calcule a derivada de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 5.4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 5.4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.3.1

Multiplique $v$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 5.4.3.2

Subtraia $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 5.4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 5.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Etapa 6

Substitua $- \frac{v'}{v^{2}}$ por $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- 1}$ por $y$ na equação original $\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Etapa 7

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 7.1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Etapa 7.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 7.1.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 7.1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $v^{2}$ .

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Etapa 7.1.1.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 7.1.1.2.1.1.2

Fatore $v^{2}$ de $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 7.1.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 7.1.1.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 7.1.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 7.1.1.2.1.3

Multiplique $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 7.1.1.2.1.4

Multiplique $v^{- 1}$ por $v^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.1.1.2.1.4.1

Mova $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} (v^{2} v^{- 1}) \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 7.1.1.2.1.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{2 - 1} \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 7.1.1.2.1.4.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{1} \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 7.1.1.2.1.5

Simplifique $- \frac{1}{x} v^{1} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 7.1.1.2.1.6

Combine $v$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} \cdot - 1 = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 7.1.1.2.1.7

Multiplique $- \frac{v}{x} \cdot - 1$ .

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Etapa 7.1.1.2.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 \frac{v}{x} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 7.1.1.2.1.7.2

Multiplique $\frac{v}{x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 7.1.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.1.1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Etapa 7.1.1.3.2

Multiplique os expoentes em ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Etapa 7.1.1.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Etapa 7.1.1.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x v^{- 2} v^{2}$

Etapa 7.1.1.3.3

Multiplique $v^{- 2}$ por $v^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.1.1.3.3.1

Mova $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x (v^{2} v^{- 2})$

Etapa 7.1.1.3.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x v^{2 - 2}$

Etapa 7.1.1.3.3.3

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x v^{0}$

Etapa 7.1.1.3.4

Simplifique $- x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - x$

Etapa 7.1.2

Fatore $v$ de $\frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = - x$

Etapa 7.1.3

Reordene $v$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = - x$

Etapa 7.2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 7.2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 7.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Etapa 7.2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (x)}$

Etapa 7.2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x$

Etapa 7.3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x$ .

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Etapa 7.3.1

Multiplique cada termo por $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x (- x)$

Etapa 7.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.2.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $v$ .

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x (- x)$

Etapa 7.3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x (- x)$

Etapa 7.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x \frac{d v}{d x} + v = x (- x)$

Etapa 7.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x \frac{d v}{d x} + v = - x \cdot x$

Etapa 7.3.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.4.1

Mova $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = - (x \cdot x)$

Etapa 7.3.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = - x^{2}$

Etapa 7.4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x v] = - x^{2}$

Etapa 7.5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int - x^{2} d x$

Etapa 7.6

Integre o lado esquerdo.

$x v = \int - x^{2} d x$

Etapa 7.7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.7.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x v = - \int x^{2} d x$

Etapa 7.7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x v = - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 7.7.3

Reescreva $- (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $- \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$x v = - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 7.8

Divida cada termo em $x v = - \frac{1}{3} x^{3} + C$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 7.8.1

Divida cada termo em $x v = - \frac{1}{3} x^{3} + C$ por $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.8.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x v}{x} = \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.8.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.3.1.1.1

Fatore $x$ de $- \frac{1}{3} x^{3}$ .

$v = \frac{x (- \frac{1}{3} x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.8.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$v = \frac{x (- \frac{1}{3} x^{2})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.8.3.1.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$v = \frac{x (- \frac{1}{3} x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.8.3.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$v = \frac{x (- \frac{1}{3} x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.8.3.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$v = \frac{- \frac{1}{3} x^{2}}{1} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.8.3.1.1.2.5

Divida $- \frac{1}{3} x^{2}$ por $1$ .

$v = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.8.3.1.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{3}$ .

$v = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{C}{x}$

Etapa 8

Substitua $y^{- 1}$ por $v$ .

$y^{- 1} = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{C}{x}$