Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y = \frac{1}{1 + x^{3}}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

Etapa 1.2

Integre $\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

Etapa 1.2.2

Reescreva $x^{3}$ como ${(x^{3})}^{1}$ .

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + {(x^{3})}^{1}} d x}$

Etapa 1.2.3

Deixe $u_{1} = x^{3}$ . Depois, $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Deixe $u_{1} = x^{3}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Diferencie $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{1 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

Etapa 1.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Simplifique.

$e^{3 \int \frac{1}{1 + u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $\frac{1}{1 + u_{1}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{(1 + u_{1}) \cdot 3} d u_{1}}$

Etapa 1.2.4.3

Mova $3$ para a esquerda de $1 + u_{1}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{3 (1 + u_{1})} d u_{1}}$

Etapa 1.2.5

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$e^{3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1})}$

Etapa 1.2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Etapa 1.2.6.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Etapa 1.2.6.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{1 \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Etapa 1.2.6.3

Multiplique $\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$ por $1$ .

$e^{\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Etapa 1.2.7

Deixe $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Deixe $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.1

Diferencie $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Etapa 1.2.7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + u_{1}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 1.2.7.1.3

Como $1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $1$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 1.2.7.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 1.2.7.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 1.2.7.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}}$

Etapa 1.2.8

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$e^{\ln (| u_{2} |) + C}$

Etapa 1.2.9

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + u_{1}$ .

$e^{\ln (| 1 + u_{1} |) + C}$

Etapa 1.2.9.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{3}$ .

$e^{\ln (| 1 + x^{3} |) + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (1 + x^{3})}$

Etapa 1.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$1 + x^{3}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $1 + x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $1 + x^{3}$ .

$(1 + x^{3}) \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Etapa 2.2.2

Multiplique $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1^{3} + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Etapa 2.2.3.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Etapa 2.2.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Etapa 2.2.3.3.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Etapa 2.2.4

Combine $\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ e $y$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) \frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Etapa 2.2.5

Multiplique $1 + x^{3}$ por $\frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x^{3}) (3 x^{2} y)}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Etapa 2.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1^{3} + x^{3}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Etapa 2.2.6.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Etapa 2.2.6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Etapa 2.2.6.3.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Etapa 2.2.7

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Etapa 2.2.7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Etapa 2.2.8

Cancele o fator comum de $1 - x + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Etapa 2.2.8.2

Divida $3 x^{2} y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Etapa 2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1^{3} + x^{3}}$

Etapa 2.3.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

Etapa 2.3.3.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Etapa 2.4

Multiplique $1 + x^{3}$ por $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1^{3} + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Etapa 2.5.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Etapa 2.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Etapa 2.5.3.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Etapa 2.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

Etapa 2.7

Cancele o fator comum de $1 - x + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

Etapa 2.7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 1$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] = 1$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] d x = \int d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$(1 + x^{3}) y = \int d x$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$(1 + x^{3}) y = x + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $(1 + x^{3}) y = x + C$ por $1 + x^{3}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Divida cada termo em $(1 + x^{3}) y = x + C$ por $1 + x^{3}$ .

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $1 + x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$y = \frac{x}{1^{3} + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Etapa 7.3.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Etapa 7.3.1.1.3.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Etapa 7.3.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1^{3} + x^{3}}$

Etapa 7.3.1.2.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

Etapa 7.3.1.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

Etapa 7.3.1.2.3.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$