Cálculo Exemplos

$8 y \frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$8 y d y = \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 8 y d y = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $8$ é constante com relação a $y$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int y d y = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Reescreva $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Combine $8$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.3.2.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \int \frac{12}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{(3 x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 3 x + 2$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 3 x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.2.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 2.3.2.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

Etapa 2.3.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$4 y^{2} + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $12$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{12}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 2.3.5.1.2

Cancele o fator comum de $12$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.2.1

Fatore $3$ de $12$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 2.3.5.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 2.3.5.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 2.3.5.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 2.3.5.1.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 2.3.5.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.5.2.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 2.3.5.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.5.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 \int u^{- 2} d u$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 (- u^{- 1} + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Reescreva $4 (- u^{- 1} + C_{2})$ como $4 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$4 y^{2} + C_{1} = - 4 \frac{1}{u} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{u}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{- 4}{u} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{u} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x + 2$ .

$4 y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{3 x + 2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $4 y^{2} = - \frac{4}{3 x + 2} + K$ por $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

Etapa 3.1.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2}}{4} + \frac{K}{4}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2} + K}{4}$

Etapa 3.1.3.2

Para escrever $K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 x + 2}{3 x + 2}$ .

$y^{2} = \frac{- \frac{4}{3 x + 2} + \frac{K (3 x + 2)}{3 x + 2}}{4}$

Etapa 3.1.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + K (3 x + 2)}{3 x + 2}}{4}$

Etapa 3.1.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + K (3 x) + K \cdot 2}{3 x + 2}}{4}$

Etapa 3.1.3.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + 3 K x + K \cdot 2}{3 x + 2}}{4}$

Etapa 3.1.3.4.3

Mova $2$ para a esquerda de $K$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 4 + 3 K x + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Etapa 3.1.3.5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.1.3.5.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4) + 3 K x + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Etapa 3.1.3.5.2

Fatore $- 1$ de $3 K x$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4) - (- 3 K x) + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Etapa 3.1.3.5.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (4) - (- 3 K x)$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x) + 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Etapa 3.1.3.5.4

Fatore $- 1$ de $2 K$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x) - (- 2 K)}{3 x + 2}}{4}$

Etapa 3.1.3.5.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (4 - 3 K x) - (- 2 K)$ .

$y^{2} = \frac{\frac{- 1 (4 - 3 K x - 2 K)}{3 x + 2}}{4}$

Etapa 3.1.3.5.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = \frac{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}{4}$

Etapa 3.1.3.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y^{2} = - \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 3.1.3.7

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}$ .

$y^{2} = - \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}$

Etapa 3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}}$

Etapa 3.3

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}}$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva $- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{4 (3 x + 2)}$ como ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $4 - 3 K x - 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{4 (3 x + 2)}}$

Etapa 3.3.1.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4 (3 x + 2)$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{2^{2} (3 x + 2)}}$

Etapa 3.3.1.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (4 - 3 K x - 2 K)}{2^{2} (3 x + 2)}$ .

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})}$

Etapa 3.3.1.4

Reordene $- 1$ e ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

Etapa 3.3.1.5

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

Etapa 3.3.1.6

Adicione parênteses.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2})}$

Etapa 3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

Etapa 3.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$

Etapa 3.3.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 - 3 K x - 2 K}{3 x + 2}}}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt{- \frac{4 + K x + K}{3 x + 2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- \frac{4 + K x + K}{3 x + 2}}}{2}$