Cálculo Exemplos

$(x^{2} - y^{2}) d x = 2 x (y d) y$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Subtraia $2 x y d y$ dos dois lados da equação.

$(x^{2} - y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

Etapa 2.4

Subtraia $2 y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - 2 x y$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Etapa 3.2

Como $- 2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x y$ em relação a $x$ é $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \cdot 1$

Etapa 3.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = - 2 y$

Etapa 4.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$- 2 y = - 2 y$ é uma identidade.

Etapa 5

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 2 x y d y$

Etapa 6

Integre $N (x, y) = - 2 x y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 6.1

Como $- 2 x$ é constante com relação a $y$ , mova $- 2 x$ para fora da integral.

$f (x, y) = - 2 x \int y d y$

Etapa 6.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 6.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.3.1

Reescreva $- 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $- 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 6.3.2

Simplifique.

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Etapa 6.3.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Etapa 6.3.2.2

Combine $x$ e $\frac{- 2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot - 2}{2} y^{2} + C$

Etapa 6.3.2.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$f (x, y) = \frac{- 2 x}{2} y^{2} + C$

Etapa 6.3.2.4

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 6.3.2.4.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2} y^{2} + C$

Etapa 6.3.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2 (1)} y^{2} + C$

Etapa 6.3.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Etapa 6.3.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{- x}{1} y^{2} + C$

Etapa 6.3.2.4.2.4

Divida $- x$ por $1$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + C$

Etapa 7

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + g (x)$

Etapa 8

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} - y^{2}$

Etapa 9

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 9.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{2} + g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Etapa 9.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x y^{2} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Etapa 9.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

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Etapa 9.3.1

Como $- y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y^{2}$ em relação a $x$ é $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Etapa 9.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Etapa 9.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Etapa 9.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$- y^{2} + \frac{d g}{d x} = x^{2} - y^{2}$

Etapa 9.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} = x^{2} - y^{2}$

Etapa 10

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 10.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 10.1.1

Some $y^{2}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - y^{2} + y^{2}$

Etapa 10.1.2

Combine os termos opostos em $x^{2} - y^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 10.1.2.1

Some $- y^{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 0$

Etapa 10.1.2.2

Some $x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2}$

Etapa 11

Encontre a antiderivada de $x^{2}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 11.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} d x$

Etapa 11.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} d x$

Etapa 11.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 12

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 13

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C$