Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.2

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 6 \int x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.1

Combine $x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.4.2

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.5

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.6

A integral de $x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.7

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

$y + C_{1} = - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) - x + C_{5}$

Etapa 2.3.9

Reordene os termos.

$y + C_{1} = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $1$ por $x$ e $0$ por $y$ em $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ .

$0 = - 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$

Etapa 4

Resolva $C$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$ .

$- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Etapa 4.2

Simplifique $- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 1 - \frac{3}{1} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Etapa 4.2.1.2

Divida $3$ por $1$ .

$- 1 - 1 \cdot 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 1 - 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Etapa 4.2.1.4

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$- 1 - 3 + 8 \ln (1) + C = 0$

Etapa 4.2.1.5

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$- 1 - 3 + 8 \cdot 0 + C = 0$

Etapa 4.2.1.6

Multiplique $8$ por $0$ .

$- 1 - 3 + 0 + C = 0$

Etapa 4.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 4.2.2.1

Some $- 1 - 3$ e $0$ .

$- 1 - 3 + C = 0$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$- 4 + C = 0$

Etapa 4.3

Some $4$ aos dois lados da equação.

$C = 4$

Etapa 5

Substitua $4$ por $C$ em $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $4$ por $C$ .

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + 4$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $8 \ln (| x |)$ movendo $8$ para dentro do logaritmo.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln ({| x |}^{8}) + 4$

Etapa 5.2.2

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{8}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln (x^{8}) + 4$