Cálculo Exemplos

$x y d x - 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 1.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

Etapa 1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - 2 (x^{2} + 2 y^{2})$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 2 y^{2})]$

Etapa 2.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 (x^{2} + 2 y^{2})$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Etapa 2.5

Como $2 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (2 x + 0)$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (2 x)$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 x$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 4 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = - 4 x$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$x = - 4 x$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 4 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 4 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 4 x - x}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $x y$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $x y$ por $M$ .

$\frac{- 4 x - x}{x y}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{- 5 x}{x y}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 x}{x y}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 5}{y}$

Etapa 4.3.4

Substitua $x y$ por $M$ .

$- \frac{5}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{5}{y} d y}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{y} d y}$

Etapa 5.2

Como $5$ é constante com relação a $y$ , mova $5$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (5 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 5 \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.1

Simplifique $- 5 \ln (| y |)$ movendo $- 5$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 5})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 5} + C$

Etapa 5.6.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{5}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $x y d x - 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{5}}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $x y$ por $\frac{1}{y^{5}}$ .

$x y \frac{1}{y^{5}} d x - 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$y x \frac{1}{y^{5}} d x - 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $y$ de $y^{5}$ .

$y x \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum.

$y x \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.2.4

Reescreva a expressão.

$x \frac{1}{y^{4}} d x - 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.3

Combine $x$ e $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x - 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $- 2 (x^{2} + 2 y^{2})$ por $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x - 2 (x^{2} + 2 y^{2}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x}{y^{4}} d x + (- 2 x^{2} - 2 (2 y^{2})) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x + (- 2 x^{2} - 4 y^{2}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 6.7

Multiplique $- 2 x^{2} - 4 y^{2}$ por $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x + \frac{- 2 x^{2} - 4 y^{2}}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 6.8

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} - 4 y^{2}$ .

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Etapa 6.8.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x + \frac{2 (- x^{2}) - 4 y^{2}}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 6.8.2

Fatore $2$ de $- 4 y^{2}$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x + \frac{2 (- x^{2}) + 2 (- 2 y^{2})}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 6.8.3

Fatore $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (- 2 y^{2})$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x + \frac{2 (- x^{2} - 2 y^{2})}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 6.9

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x + \frac{2 (- (x^{2}) - 2 y^{2})}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 6.10

Fatore $- 1$ de $- 2 y^{2}$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x + \frac{2 (- (x^{2}) - (2 y^{2}))}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 6.11

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (2 y^{2})$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x + \frac{2 (- (x^{2} + 2 y^{2}))}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 6.12

Reescreva $- (x^{2} + 2 y^{2})$ como $- 1 (x^{2} + 2 y^{2})$ .

$\frac{x}{y^{4}} d x + \frac{2 (- 1 (x^{2} + 2 y^{2}))}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 6.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x}{y^{4}} d x - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y^{4}} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = \frac{x}{y^{4}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Como $\frac{1}{y^{4}}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{y^{4}}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} \int x d x$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 8.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.3.1

Reescreva $\frac{1}{y^{4}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $\frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 8.3.2

Simplifique.

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Etapa 8.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{y^{4}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4} \cdot 2} x^{2} + C$

Etapa 8.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot y^{4}} x^{2} + C$

Etapa 8.3.2.3

Multiplique $2$ por $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 y^{4}} x^{2} + C$

Etapa 8.3.2.4

Combine $\frac{1}{2 y^{4}}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{4}} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{4}} + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{4}} + g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{2}}{2 y^{4}} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{4}}]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $\frac{x^{2}}{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{x^{2}}{2 y^{4}}$ em relação a $y$ é $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{y^{4}}$ como ${(y^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y^{4}$ .

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Etapa 11.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y^{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- {(y^{4})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.5

Multiplique os expoentes em ${(y^{4})}^{- 2}$ .

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Etapa 11.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{4 \cdot - 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{- 8} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 4 y^{- 8} y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.7

Multiplique $y^{- 8}$ por $y^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.3.7.1

Mova $y^{3}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 4 (y^{3} y^{- 8})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2}}{2} (- 4 y^{3 - 8}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.7.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- 4 y^{- 5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.8

Combine $- 4$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2} y^{- 5} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.9

Combine $\frac{- 4 x^{2}}{2}$ e $y^{- 5}$ .

$\frac{- 4 x^{2} y^{- 5}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.10

Mova $y^{- 5}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 y^{5}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.11

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.11.1

Fatore $2$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 y^{5}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.11.2.1

Fatore $2$ de $2 y^{5}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (y^{5})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 y^{5}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 x^{2}}{y^{5}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x^{2}}{y^{5}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{2 x^{2}}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x^{2}}{y^{5}} = - \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Some $\frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 x^{2}}{y^{5}} + \frac{2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x^{2} + 2 (x^{2} + 2 y^{2})}{y^{5}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 (2 y^{2})}{y^{5}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 x^{2} + 2 x^{2} + 4 y^{2}}{y^{5}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Some $- 2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 4 y^{2}}{y^{5}} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Some $0$ e $4 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{4 y^{2}}{y^{5}} = 0$

Etapa 12.1.1.6

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.6.1

Fatore $y^{2}$ de $4 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 4}{y^{5}} = 0$

Etapa 12.1.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.6.2.1

Fatore $y^{2}$ de $y^{5}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 4}{y^{2} y^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 4}{y^{2} y^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d y} + \frac{4}{y^{3}} = 0$

Etapa 12.1.2

Subtraia $\frac{4}{y^{3}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{4}{y^{3}}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- \frac{4}{y^{3}}$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - \frac{4}{y^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{4}{y^{3}} d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{4}{y^{3}} d y$

Etapa 13.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - \int \frac{4}{y^{3}} d y$

Etapa 13.4

Como $4$ é constante com relação a $y$ , mova $4$ para fora da integral.

$g (y) = - (4 \int \frac{1}{y^{3}} d y)$

Etapa 13.5

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$g (y) = - 4 \int \frac{1}{y^{3}} d y$

Etapa 13.6

Mova $y^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$g (y) = - 4 \int {(y^{3})}^{- 1} d y$

Etapa 13.7

Multiplique os expoentes em ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.7.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - 4 \int y^{3 \cdot - 1} d y$

Etapa 13.7.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$g (y) = - 4 \int y^{- 3} d y$

Etapa 13.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 3}$ com relação a $y$ é $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$g (y) = - 4 (- \frac{1}{2} y^{- 2} + C)$

Etapa 13.9

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.9.1

Simplifique.

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Etapa 13.9.1.1

Combine $y^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 4 (- \frac{y^{- 2}}{2} + C)$

Etapa 13.9.1.2

Mova $y^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g (y) = - 4 (- \frac{1}{2 y^{2}} + C)$

Etapa 13.9.2

Simplifique.

$g (y) = - 4 (- \frac{1}{2 y^{2}}) + C$

Etapa 13.9.3

Simplifique.

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Etapa 13.9.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$g (y) = 4 \frac{1}{2 y^{2}} + C$

Etapa 13.9.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{2 y^{2}}$ .

$g (y) = \frac{4}{2 y^{2}} + C$

Etapa 13.9.3.3

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 13.9.3.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 y^{2}} + C$

Etapa 13.9.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.9.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2 y^{2}$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 (y^{2})} + C$

Etapa 13.9.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 y^{2}} + C$

Etapa 13.9.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$g (y) = \frac{2}{y^{2}} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{4}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{4}} + \frac{2}{y^{2}} + C$