Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}}$ , $y (5) = 4$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 2 x^{2} - 1$ . Depois, $d u = 4 x d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 2 x^{2} - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.2.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x + 0$

Etapa 2.3.2.1.4.2

Some $4 x$ e $0$ .

$4 x$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Etapa 2.3.3.2

Mova $4$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.5.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.5.1.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 2.3.5.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.5.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.5.1.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.5.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.5.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.5.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.5.2.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 2.3.5.2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.5.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 2.3.5.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 2.3.5.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Reescreva $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.7.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.3

Multiplique $u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{2} - 1$ .

$y + C_{1} = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $5$ por $x$ e $4$ por $y$ em $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ .

$4 = {(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como ${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$ .

${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

${(2 \cdot 25 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $2$ por $25$ .

${(50 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Etapa 4.2.2

Subtraia $1$ de $50$ .

$49^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Etapa 4.2.3

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

${(7^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Etapa 4.2.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

Etapa 4.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.5.1

Cancele o fator comum.

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

Etapa 4.2.5.2

Reescreva a expressão.

$7^{1} + K = 4$

Etapa 4.2.6

Avalie o expoente.

$7 + K = 4$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$K = 4 - 7$

Etapa 4.3.2

Subtraia $7$ de $4$ .

$K = - 3$

Etapa 5

Substitua $- 3$ por $K$ em $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- 3$ por $K$ .

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 3$