Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{\sqrt{x}}$ , $y (1) = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{1} = \int (x + 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 2.3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.3.4

Expanda $(x + 1) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.3.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.3.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = \int x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.3.4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.3.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.3.4.6

Subtraia $1$ de $2$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.3.4.7

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.3.5

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.3.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{3}$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $1$ por $x$ e $0$ por $y$ em $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Etapa 4.2

Simplifique $\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Etapa 4.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1 + K = 0$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2}{3} + 2 + K = 0$

Etapa 4.2.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + K = 0$

Etapa 4.2.3

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + K = 0$

Etapa 4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 + 2 \cdot 3}{3} + K = 0$

Etapa 4.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.5.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2 + 6}{3} + K = 0$

Etapa 4.2.5.2

Some $2$ e $6$ .

$\frac{8}{3} + K = 0$

Etapa 4.3

Subtraia $\frac{8}{3}$ dos dois lados da equação.

$K = - \frac{8}{3}$

Etapa 5

Substitua $- \frac{8}{3}$ por $K$ em $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- \frac{8}{3}$ por $K$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$

Etapa 5.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$