Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} + 6 y = 18$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $6 y$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = \frac{18}{x} - \frac{6 y}{x}$

Etapa 1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{18 - 6 y}{x}$

Etapa 1.2.2

Fatore $6$ de $18 - 6 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $6$ de $18$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3) - 6 y}{x}$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $6$ de $- 6 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3) + 6 (- y)}{x}$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $6$ de $6 (3) + 6 (- y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3 - y)}{x}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{3 - y}$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{6 (3 - y)}{x}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $3 - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore $3 - y$ de $6 (3 - y)$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 6}{x}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 6}{x}$

Etapa 1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{x}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{3 - y} d y = \frac{6}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int \frac{6}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u = 3 - y$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 3 - y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.2.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Divida a fração em diversas frações.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{6}{x} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 - y$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| 3 - y |) = 6 \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- \ln (| 3 - y |) - 6 \ln (| x |) = C$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $- 6 \ln (| x |)$ movendo $6$ para dentro do logaritmo.

$- \ln (| 3 - y |) - \ln ({| x |}^{6}) = C$

Etapa 3.2.1.2

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{6}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$- \ln (| 3 - y |) - \ln (x^{6}) = C$

Etapa 3.3

Some $\ln (x^{6})$ aos dois lados da equação.

$- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$

Etapa 3.4

Divida cada termo em $- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Divida cada termo em $- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 3 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (| 3 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2

Divida $\ln (| 3 - y |)$ por $1$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Etapa 3.4.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| 3 - y |) = - C + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Etapa 3.4.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\ln (x^{6})}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - C - 1 \cdot \ln (x^{6})$

Etapa 3.4.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot \ln (x^{6})$ como $- \ln (x^{6})$ .

$\ln (| 3 - y |) = - C - \ln (x^{6})$

Etapa 3.5

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| 3 - y |) + \ln (x^{6}) = - C$

Etapa 3.6

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 3 - y | x^{6}) = - C$

Etapa 3.7

Reordene os fatores em $\ln (| 3 - y | x^{6})$ .

$\ln (x^{6} | 3 - y |) = - C$

Etapa 3.8

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x^{6} | 3 - y |)} = e^{- C}$

Etapa 3.9

Reescreva $\ln (x^{6} | 3 - y |) = - C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = x^{6} | 3 - y |$

Etapa 3.10

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Reescreva a equação como $x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ .

$x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$

Etapa 3.10.2

Divida cada termo em $x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ por $x^{6}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.1

Divida cada termo em $x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ por $x^{6}$ .

$\frac{x^{6} | 3 - y |}{x^{6}} = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Etapa 3.10.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{6} | 3 - y |}{x^{6}} = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Etapa 3.10.2.2.1.2

Divida $| 3 - y |$ por $1$ .

$| 3 - y | = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Etapa 3.10.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$3 - y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Etapa 3.10.4

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$

Etapa 3.10.5

Divida cada termo em $- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.5.1

Divida cada termo em $- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.10.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.10.5.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.10.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.5.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.10.5.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}})$ como $- (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}})$ .

$y = - (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.10.5.3.1.3

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$y = - (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + 3$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = - (\pm \frac{C}{x^{6}}) + 3$

Etapa 4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = - (C \frac{1}{x^{6}}) + 3$