Cálculo Exemplos

$x y^{2} d y + (x^{2} + 1) d x = 0$

Etapa 1

Subtraia $(x^{2} + 1) d x$ dos dois lados da equação.

$x y^{2} d y = - (x^{2} + 1) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $x y^{2}$ .

$\frac{1}{x} (x (y^{2})) d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y^{2} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} + 1) d x$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x}$ para o numerador.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Etapa 3.4.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Etapa 3.4.3

Cancele o fator comum.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Etapa 3.4.4

Reescreva a expressão.

$y^{2} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y^{2} d y = (- x - \frac{1}{x}) d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{2} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - (\ln (| x |) + C_{3})$

Etapa 4.3.6

Simplifique.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{2} - \ln (| x |) + C)$

Etapa 5.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{2}) + 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

Etapa 5.2.2.1.3

Simplifique.

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Etapa 5.2.2.1.3.1

Multiplique $3 (- \frac{x^{2}}{2})$ .

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Etapa 5.2.2.1.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

Etapa 5.2.2.1.3.1.2

Combine $- 3$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{2} + 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

Etapa 5.2.2.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{2} - 3 \ln (| x |) + 3 C$

Etapa 5.2.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{3} = - \frac{3 x^{2}}{2} - 3 \ln (| x |) + 3 C$

Etapa 5.3

Simplifique $- 3 \ln (| x |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$y^{3} = - \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

Etapa 5.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

Etapa 5.5

Simplifique $\sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$ .

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Etapa 5.5.1

Para escrever $- \ln ({| x |}^{3})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) \cdot \frac{2}{2} + 3 C}$

Etapa 5.5.2

Simplifique os termos.

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Etapa 5.5.2.1

Combine $- \ln ({| x |}^{3})$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

Etapa 5.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.3.1

Multiplique $- \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2$ .

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Etapa 5.5.3.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - 2 \ln ({| x |}^{3})}{2} + 3 C}$

Etapa 5.5.3.1.2

Simplifique $- 2 \ln ({| x |}^{3})$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({({| x |}^{3})}^{2})}{2} + 3 C}$

Etapa 5.5.3.2

Multiplique os expoentes em ${({| x |}^{3})}^{2}$ .

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Etapa 5.5.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({| x |}^{3 \cdot 2})}{2} + 3 C}$

Etapa 5.5.3.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({| x |}^{6})}{2} + 3 C}$

Etapa 5.5.3.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{6}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6})}{2} + 3 C}$

Etapa 5.5.4

Para escrever $3 C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6})}{2} + 3 C \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 5.5.5

Combine $3 C$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6})}{2} + \frac{3 C \cdot 2}{2}}$

Etapa 5.5.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 3 C \cdot 2}{2}}$

Etapa 5.5.7

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$

Etapa 5.5.8

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$ como $\frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$

Etapa 5.5.9

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 5.5.10

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.5.10.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 5.5.10.2

Eleve $\sqrt[3]{2}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 5.5.10.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Etapa 5.5.10.4

Some $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Etapa 5.5.10.5

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

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Etapa 5.5.10.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 5.5.10.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 5.5.10.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 5.5.10.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.5.10.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 5.5.10.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Etapa 5.5.10.5.5

Avalie o expoente.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Etapa 5.5.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.11.1

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Etapa 5.5.11.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{4}}{2}$

Etapa 5.5.12

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.5.12.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$

Etapa 5.5.12.2

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt[3]{(- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C)}}{2}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + C)}}{2}$