Cálculo Exemplos

$d x - (2 + x) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $d x$ dos dois lados da equação.

$- (2 + x) d y = - d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{2 + x}$ .

$\frac{1}{2 + x} (- (2 + x)) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{1}{2 + x} (2 + x) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $2 + x$ .

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Etapa 3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 + x}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{2 + x} (2 + x) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{2 + x} (2 + x) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$- 1 d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{2 + x}$ e $- 1$ .

$- 1 d y = \frac{- 1}{2 + x} d x$

Etapa 3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 1 d y = - \frac{1}{2 + x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int - 1 d y = \int - \frac{1}{2 + x} d x$

Etapa 4.2

Aplique a regra da constante.

$- y + C_{1} = \int - \frac{1}{2 + x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{2 + x} d x$

Etapa 4.3.2

Deixe $u = 2 + x$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.3.2.1

Deixe $u = 2 + x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Diferencie $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Etapa 4.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.2.1.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 4.3.2.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- y + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 4.3.4

Simplifique.

$- y + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 4.3.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 + x$ .

$- y + C_{1} = - \ln (| 2 + x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- y = - \ln (| 2 + x |) + C$

Etapa 5

Divida cada termo em $- y = - \ln (| 2 + x |) + C$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $- y = - \ln (| 2 + x |) + C$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- \ln (| 2 + x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{- \ln (| 2 + x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 5.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \ln (| 2 + x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{\ln (| 2 + x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 5.3.1.2

Divida $\ln (| 2 + x |)$ por $1$ .

$y = \ln (| 2 + x |) + \frac{C}{- 1}$

Etapa 5.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$y = \ln (| 2 + x |) - 1 \cdot C$

Etapa 5.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$y = \ln (| 2 + x |) - C$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \ln (| 2 + x |) + C$