Cálculo Exemplos

$\frac{d f}{d t} = y (f - c)$

Etapa 1

Deixe $v = f - c$ . Substitua $v$ em todas as ocorrências de $f - c$ .

$\frac{d f}{d t} = y v$

Etapa 2

Encontre $\frac{d v}{d t}$ ao diferenciar $f - c$ .

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $f - c$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d t} [f]$ como $f'$ .

$\frac{d v}{d t} = f' + \frac{d}{d t} [- c]$

Etapa 2.3

Como $- c$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- c$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{d v}{d t} = f' + 0$

Etapa 2.4

Some $f'$ e $0$ .

$\frac{d v}{d t} = f'$

Etapa 3

Substitua a derivada na equação diferencial.

$\frac{d v}{d t} = y v$

Etapa 4

Separe as variáveis.

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Etapa 4.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (y v)$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $v$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $v$ de $y v$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

Etapa 4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = y$

Etapa 4.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{v} d v = y d t$

Etapa 5

Integre os dois lados.

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Etapa 5.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{v} d v = \int y d t$

Etapa 5.2

A integral de $\frac{1}{v}$ com relação a $v$ é $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int y d t$

Etapa 5.3

Integre o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Aplique a regra da constante.

$\ln (| v |) + C_{1} = y t + C_{2}$

Etapa 5.3.2

Reordene os termos.

$\ln (| v |) + C_{1} = t y + C_{2}$

Etapa 5.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| v |) = t y + C$

Etapa 6

Resolva $v$ .

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Etapa 6.1

Para resolver $v$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| v |)} = e^{t y + C}$

Etapa 6.2

Reescreva $\ln (| v |) = t y + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{t y + C} = | v |$

Etapa 6.3

Resolva $v$ .

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Etapa 6.3.1

Reescreva a equação como $| v | = e^{t y + C}$ .

$| v | = e^{t y + C}$

Etapa 6.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{t y + C}$

Etapa 7

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 7.1

Reescreva $e^{t y + C}$ como $e^{t y} e^{C}$ .

$v = \pm e^{t y} e^{C}$

Etapa 7.2

Reordene $e^{t y}$ e $e^{C}$ .

$v = \pm e^{C} e^{t y}$

Etapa 7.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$v = C e^{t y}$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $f - c$ .

$f - c = C e^{t y}$

Etapa 9

Some $c$ aos dois lados da equação.

$f = C e^{t y} + c$