Cálculo Exemplos

$25 \frac{d q}{d t} - \frac{d^{2} q}{d t^{2}} = 0$

Etapa 1

Deixe $v = \frac{d q}{d t}$ . Depois, $\frac{d v}{d t} = \frac{d^{2} q}{d t^{2}}$ . Substitua $v$ por $\frac{d q}{d t}$ e $\frac{d v}{d t}$ por $\frac{d^{2} q}{d t^{2}}$ para obter uma equação diferencial com a variável dependente $v$ e a variável independente $t$ .

$25 v - \frac{d v}{d t} = 0$

Etapa 2

Separe as variáveis.

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Etapa 2.1

Resolva $\frac{d v}{d t}$ .

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Etapa 2.1.1

Subtraia $25 v$ dos dois lados da equação.

$- \frac{d v}{d t} = - 25 v$

Etapa 2.1.2

Divida cada termo em $- \frac{d v}{d t} = - 25 v$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.1.2.1

Divida cada termo em $- \frac{d v}{d t} = - 25 v$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{d v}{d t}}{- 1} = \frac{- 25 v}{- 1}$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{1} = \frac{- 25 v}{- 1}$

Etapa 2.1.2.2.2

Divida $\frac{d v}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{- 25 v}{- 1}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1.2.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 25 v}{- 1}$ .

$\frac{d v}{d t} = - 1 \cdot (- 25 v)$

Etapa 2.1.2.3.2

Reescreva $- 1 \cdot (- 25 v)$ como $- (- 25 v)$ .

$\frac{d v}{d t} = - (- 25 v)$

Etapa 2.1.2.3.3

Multiplique $- 25$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d t} = 25 v$

Etapa 2.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (25 v)$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = 25 \frac{1}{v} v$

Etapa 2.3.2

Combine $25$ e $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{25}{v} v$

Etapa 2.3.3

Cancele o fator comum de $v$ .

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Etapa 2.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{25}{v} v$

Etapa 2.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = 25$

Etapa 2.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{v} d v = 25 d t$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{v} d v = \int 25 d t$

Etapa 3.2

A integral de $\frac{1}{v}$ com relação a $v$ é $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int 25 d t$

Etapa 3.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| v |) + C_{1} = 25 t + C_{2}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = 25 t + C_{3}$

Etapa 4

Resolva $v$ .

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Etapa 4.1

Para resolver $v$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| v |)} = e^{25 t + C_{3}}$

Etapa 4.2

Reescreva $\ln (| v |) = 25 t + C_{3}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{25 t + C_{3}} = | v |$

Etapa 4.3

Resolva $v$ .

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Etapa 4.3.1

Reescreva a equação como $| v | = e^{25 t + C_{3}}$ .

$| v | = e^{25 t + C_{3}}$

Etapa 4.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{25 t + C_{3}}$

Etapa 5

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 5.1

Reescreva $e^{25 t + C_{3}}$ como $e^{25 t} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{25 t} e^{C_{3}}$

Etapa 5.2

Reordene $e^{25 t}$ e $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{25 t}$

Etapa 5.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$v = C_{4} e^{25 t}$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $\frac{d q}{d t}$ .

$\frac{d q}{d t} = C_{4} e^{25 t}$

Etapa 7

Reescreva a equação.

$d q = C_{4} e^{25 t} d t$

Etapa 8

Integre os dois lados.

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Etapa 8.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d q = \int C_{4} e^{25 t} d t$

Etapa 8.2

Aplique a regra da constante.

$q + C_{5} = \int C_{4} e^{25 t} d t$

Etapa 8.3

Integre o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Como $C_{4}$ é constante com relação a $t$ , mova $C_{4}$ para fora da integral.

$q + C_{5} = C_{4} \int e^{25 t} d t$

Etapa 8.3.2

Deixe $u = 25 t$ . Depois, $d u = 25 d t$ , então, $\frac{1}{25} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.3.2.1

Deixe $u = 25 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 8.3.2.1.1

Diferencie $25 t$ .

$\frac{d}{d t} [25 t]$

Etapa 8.3.2.1.2

Como $25$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $25 t$ em relação a $t$ é $25 \frac{d}{d t} [t]$ .

$25 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 8.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$25 \cdot 1$

Etapa 8.3.2.1.4

Multiplique $25$ por $1$ .

$25$

Etapa 8.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$q + C_{5} = C_{4} \int e^{u} \frac{1}{25} d u$

Etapa 8.3.3

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{25}$ .

$q + C_{5} = C_{4} \int \frac{e^{u}}{25} d u$

Etapa 8.3.4

Como $\frac{1}{25}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{25}$ para fora da integral.

$q + C_{5} = C_{4} (\frac{1}{25} \int e^{u} d u)$

Etapa 8.3.5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$q + C_{5} = C_{4} \frac{1}{25} (e^{u} + C_{6})$

Etapa 8.3.6

Simplifique.

$q + C_{5} = \frac{C_{4}}{25} e^{u} + C_{7}$

Etapa 8.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $25 t$ .

$q + C_{5} = \frac{C_{4}}{25} e^{25 t} + C_{7}$

Etapa 8.3.8

Reordene os termos.

$q + C_{5} = \frac{1}{25} C_{4} e^{25 t} + C_{7}$

Etapa 8.3.9

Reordene os termos.

$q + C_{5} = \frac{1}{25} e^{25 t} C_{4} + C_{7}$

Etapa 8.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$q = \frac{1}{25} e^{25 t} C + D$