Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x e^{x}$

Etapa 1

Integre os dois lados com relação a $x$ .

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Etapa 1.1

A primeira derivada é igual à integral da segunda derivada com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x e^{x} d x$

Etapa 1.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Etapa 1.3

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - (e^{x} + C_{1})$

Etapa 1.4

Simplifique.

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - e^{x} + C_{1}$

Etapa 2

Reescreva a equação.

$d y = (x e^{x} - e^{x} + C_{1}) d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int x e^{x} - e^{x} + C_{1} d x$

Etapa 3.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{2} = \int x e^{x} - e^{x} + C_{1} d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{2} = \int x e^{x} d x + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - \int e^{x} d x + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.3

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - \int e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.5

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - (e^{x} + C_{4}) + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.6

Aplique a regra da constante.

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - (e^{x} + C_{4}) + C_{1} x + C_{5}$

Etapa 3.3.7

Simplifique.

$y + C_{2} = x e^{x} - 2 e^{x} + C_{1} x + C_{6}$

Etapa 3.3.8

Reordene os termos.

$y + C_{2} = e^{x} x + C_{1} x - 2 e^{x} + C_{6}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$y = e^{x} x + C x - 2 e^{x} + D$