Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = e^{- y} \sin (\frac{t}{3})$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (\frac{t}{3}))$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $e^{- y}$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $e^{- y}$ de $e^{- y} \sin (\frac{t}{3})$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sin (\frac{t}{3})))$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (\frac{t}{3}))$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \sin (\frac{t}{3})$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \sin (\frac{t}{3}) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.1

Negative o expoente de $e^{- y}$ e o mova para fora do denominador.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Etapa 2.2.1.2.1.2

Multiplique $- y \cdot - 1$ .

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Etapa 2.2.1.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Etapa 2.2.1.2.1.2.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $e^{y}$ por $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Etapa 2.2.2

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = \frac{t}{3}$ . Depois, $d u = \frac{1}{3} d t$ , então, $3 d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = \frac{t}{3}$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $\frac{t}{3}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{3}]$

Etapa 2.3.1.1.2

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{t}{3}$ em relação a $t$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Etapa 2.3.1.1.4

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) (1 \cdot 3) d u$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) \cdot 3 d u$

Etapa 2.3.2.3

Mova $3$ para a esquerda de $\sin (u)$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 3 \sin (u) d u$

Etapa 2.3.3

Como $3$ é constante com relação a $u$ , mova $3$ para fora da integral.

$e^{y} + C_{1} = 3 \int \sin (u) d u$

Etapa 2.3.4

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \cos (u) + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Simplifique.

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \cos (u)) + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (u) + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{t}{3}$ .

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (\frac{t}{3}) + C_{2}$

Etapa 2.3.7

Reordene os termos.

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (\frac{1}{3} t) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$e^{y} = - 3 \cos (\frac{1}{3} t) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y}) = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

Etapa 3.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Expanda $\ln (e^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

Etapa 3.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$