Cálculo Exemplos

$\frac{d r}{d t} = 4 t + \sec^{2} (t)$ , $r (- π) = 3$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d r = (4 t + \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d r = \int 4 t + \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$r + C_{1} = \int 4 t + \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$r + C_{1} = \int 4 t d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.3.2

Como $4$ é constante com relação a $t$ , mova $4$ para fora da integral.

$r + C_{1} = 4 \int t d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$r + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.3.4

Como a derivada de $\tan (t)$ é $\sec^{2} (t)$ , a integral de $\sec^{2} (t)$ é $\tan (t)$ .

$r + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$r + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

$r + C_{1} = 2 t^{2} + \tan (t) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$r = 2 t^{2} + \tan (t) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $- π$ por $t$ e $3$ por $r$ em $r = 2 t^{2} + \tan (t) + K$ .

$3 = 2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K = 3$ .

$2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K = 3$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique $2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K$ .

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- π$ .

$2 ({(- 1)}^{2} π^{2}) + \tan (- π) + K = 3$

Etapa 4.2.1.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$2 (1 π^{2}) + \tan (- π) + K = 3$

Etapa 4.2.1.1.3

Multiplique $π^{2}$ por $1$ .

$2 π^{2} + \tan (- π) + K = 3$

Etapa 4.2.1.1.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$2 π^{2} - \tan (0) + K = 3$

Etapa 4.2.1.1.5

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$2 π^{2} - 0 + K = 3$

Etapa 4.2.1.1.6

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 π^{2} + 0 + K = 3$

Etapa 4.2.1.2

Some $2 π^{2}$ e $0$ .

$2 π^{2} + K = 3$

Etapa 4.3

Subtraia $2 π^{2}$ dos dois lados da equação.

$K = 3 - 2 π^{2}$

Etapa 5

Substitua $3 - 2 π^{2}$ por $K$ em $r = 2 t^{2} + \tan (t) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $3 - 2 π^{2}$ por $K$ .

$r = 2 t^{2} + \tan (t) + 3 - 2 π^{2}$