Cálculo Exemplos

$y + x \frac{d y}{d x} = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d y}{d x} = - y$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = - y$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = - y$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{- y}{x}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{- y}{x}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{x})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Etapa 3.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x |) = C$

Etapa 3.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| y x |) = C$

Etapa 3.4

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{C}$

Etapa 3.5

Reescreva $\ln (| y x |) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x |$

Etapa 3.6

Resolva $y$ .

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Etapa 3.6.1

Reescreva a equação como $| y x | = e^{C}$ .

$| y x | = e^{C}$

Etapa 3.6.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y x = \pm e^{C}$

Etapa 3.6.3

Divida cada termo em $y x = \pm e^{C}$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 3.6.3.1

Divida cada termo em $y x = \pm e^{C}$ por $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Etapa 3.6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Etapa 3.6.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{C}{x}$