Cálculo Exemplos

$2 x y y' = x^{2} + 2 y^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial.

$2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 y^{2}$

Etapa 2

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida cada termo em $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 y^{2}$ por $2 x y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Divida cada termo em $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 y^{2}$ por $2 x y$ .

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Etapa 2.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Etapa 2.1.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Etapa 2.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Etapa 2.1.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Etapa 2.1.2.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Etapa 2.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Etapa 2.1.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1.2.1

Fatore $x$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Etapa 2.1.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Etapa 2.1.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Etapa 2.1.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Etapa 2.1.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Etapa 2.1.3.1.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.3.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

Etapa 2.1.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.3.2.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Etapa 2.1.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Etapa 2.1.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y}{x}$

Etapa 2.2

Reescreva a equação diferencial como $f (\frac{y}{x})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $\frac{x}{y}$ a partir de $\frac{x}{2 y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $\frac{x}{y}$ de $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{y}{x}$

Etapa 2.2.1.2

Reordene $\frac{x}{y}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x}$

Etapa 3

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V^{- 1} + V$

Etapa 4

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 5

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 6

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V^{- 1} + V$

Etapa 7

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V} + V$

Etapa 7.1.1.1.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2 V} + V$

Etapa 7.1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + V - V$

Etapa 7.1.1.2.2

Combine os termos opostos em $\frac{1}{2 V} + V - V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.2.1

Subtraia $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + 0$

Etapa 7.1.1.2.2.2

Some $\frac{1}{2 V}$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$

Etapa 7.1.1.3

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

Etapa 7.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

Etapa 7.1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.2

Multiplique $\frac{1}{2 V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V x}$

Etapa 7.1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 7.1.3

Multiplique os dois lados por $2 V$ .

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V (\frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 7.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.1

Multiplique $\frac{1}{2 V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V x}$

Etapa 7.1.4.2

Cancele o fator comum de $2 V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.2.1

Fatore $2 V$ de $2 V x$ .

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V (x)}$

Etapa 7.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V x}$

Etapa 7.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$2 V \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 7.1.5

Reescreva a equação.

$2 V d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 2 V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Como $2$ é constante com relação a $V$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $V$ com relação a $V$ é $\frac{1}{2} V^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1})$ como $2 (\frac{1}{2}) V^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.3.2.3

Multiplique $V^{2}$ por $1$ .

$V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$V^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 7.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$V^{2} = \ln (| x |) + C$

Etapa 7.3

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$V = \pm \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Etapa 7.3.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Etapa 7.3.2.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$V = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Etapa 7.3.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Etapa 8

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (| x |) + C}, - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Etapa 9

Resolva $\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (| x |) + C}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Reescreva.

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Etapa 9.2

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Etapa 9.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Etapa 9.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y = \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Etapa 10

Resolva $\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Reescreva.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Etapa 10.2

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Etapa 10.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Etapa 10.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y = - \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Etapa 11

Liste as soluções.

$y = \sqrt{\ln (| x |) + C} x, y = - \sqrt{\ln (| x |) + C} x$