Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = 3 x$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 1.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (x)}$

Etapa 1.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x (3 x)$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x)$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x)$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (3 x)$

Etapa 2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x \cdot x$

Etapa 2.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.1

Mova $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 (x \cdot x)$

Etapa 2.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x y] = 3 x^{2}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 3 x^{2} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$x y = \int 3 x^{2} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$x y = 3 \int x^{2} d x$

Etapa 6.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 6.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.3.1

Reescreva $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Etapa 6.3.2

Simplifique.

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Etapa 6.3.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Etapa 6.3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Etapa 6.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x y = 1 x^{3} + C$

Etapa 6.3.2.3

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$x y = x^{3} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $x y = x^{3} + C$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $x y = x^{3} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 7.3.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.2.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.2.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.2.5

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{x}$