Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{y}}{x}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{2 \sqrt{y}}{x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $\sqrt{y}$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $\sqrt{y}$ de $2 \sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y} \cdot 2}{x}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y} \cdot 2}{x}$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = \frac{2}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 2.2.1.2

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 2.2.1.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 2.2.1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $y$ é $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$ por $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.1.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Etapa 3.1.3.1.2

Divida $\ln (| x |)$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Etapa 3.2

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique.

$y = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$