Cálculo Exemplos

$x^{2} + 3 y \frac{d y}{d x} = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 y \frac{d y}{d x} = - x^{2}$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $3 y \frac{d y}{d x} = - x^{2}$ por $3 y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $3 y \frac{d y}{d x} = - x^{2}$ por $3 y$ .

$\frac{3 y \frac{d y}{d x}}{3 y} = \frac{- x^{2}}{3 y}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y \frac{d y}{d x}}{3 y} = \frac{- x^{2}}{3 y}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{2}}{3 y}$

Etapa 1.1.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{2}}{3 y}$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{3 y}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{3 y}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x^{2}}{3 y})$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x^{2}}{3 y}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Fatore $y$ de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{2}}{3 y}$

Etapa 1.3.2.2

Fatore $y$ de $3 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{2}}{y \cdot 3}$

Etapa 1.3.2.3

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{2}}{y \cdot 3}$

Etapa 1.3.2.4

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{3}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$y d y = - \frac{x^{2}}{3} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int - \frac{x^{2}}{3} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{2}}{3} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{2}}{3} d x$

Etapa 2.3.2

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Reescreva $- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ como $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{9} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{9} x^{3} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{9} x^{3} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{9} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{9} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{9} x^{3} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (- \frac{1}{9} x^{3} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{9}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{3}}{9} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{3}}{9}) + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $2 (- \frac{x^{3}}{9})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y^{2} = - 2 \frac{x^{3}}{9} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Combine $- 2$ e $\frac{x^{3}}{9}$ .

$y^{2} = \frac{- 2 x^{3}}{9} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = - \frac{2 x^{3}}{9} + 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{9} + 2 K}$

Etapa 3.4

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{9} + 2 K}$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $- \frac{2 x^{3}}{9} + 2 K$ .

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Etapa 3.4.1.1

Fatore $2$ de $- \frac{2 x^{3}}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{x^{3}}{9}) + 2 K}$

Etapa 3.4.1.2

Fatore $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{x^{3}}{9}) + 2 K}$

Etapa 3.4.1.3

Fatore $2$ de $2 (- \frac{x^{3}}{9}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{x^{3}}{9} + K)}$

Etapa 3.4.2

Para escrever $K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{x^{3}}{9} + K \cdot \frac{9}{9})}$

Etapa 3.4.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Combine $K$ e $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{x^{3}}{9} + \frac{K \cdot 9}{9})}$

Etapa 3.4.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- x^{3} + K \cdot 9}{9}}$

Etapa 3.4.4

Mova $9$ para a esquerda de $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- x^{3} + 9 K}{9}}$

Etapa 3.4.5

Combine $2$ e $\frac{- x^{3} + 9 K}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3} + 9 K)}{9}}$

Etapa 3.4.6

Reescreva $\frac{2 (- x^{3} + 9 K)}{9}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2} (2 (- x^{3} + 9 K))$ .

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Etapa 3.4.6.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $2 (- x^{3} + 9 K)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (- x^{3} + 9 K))}{9}}$

Etapa 3.4.6.2

Fatore a potência perfeita $3^{2}$ de $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (- x^{3} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}}$

Etapa 3.4.6.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (2 (- x^{3} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (2 (- x^{3} + 9 K))}$

Etapa 3.4.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}$

Etapa 3.4.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $\sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}}{3}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}}{3}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}}{3}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 9 K)}}{3}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + K)}}{3}$