Cálculo Exemplos

$(1 + e^{2 x}) d x - e^{x} y^{2} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(1 + e^{2 x}) d x$ dos dois lados da equação.

$- e^{x} y^{2} d y = - (1 + e^{2 x}) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{x}}$ .

$\frac{1}{e^{x}} (- e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{e^{x}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Etapa 3.2.2

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} y^{2}$ .

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} (y^{2})) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Etapa 3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Etapa 3.2.4

Reescreva a expressão.

$- y^{2} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- y^{2} d y = - \frac{1}{e^{x}} (1 + e^{2 x}) d x$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} \cdot 1 - \frac{1}{e^{x}} e^{2 x}) d x$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{1}{e^{x}} e^{2 x}) d x$

Etapa 3.6

Combine $e^{2 x}$ e $\frac{1}{e^{x}}$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{2 x}}{e^{x}}) d x$

Etapa 3.7

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ e $e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Fatore $e^{x}$ de $e^{2 x}$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x}}) d x$

Etapa 3.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Multiplique por $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}) d x$

Etapa 3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}) d x$

Etapa 3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x}}{1}) d x$

Etapa 3.7.2.4

Divida $e^{x}$ por $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - e^{x}) d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int - y^{2} d y = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int y^{2} d y = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Etapa 4.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Etapa 4.2.3

Reescreva $- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ como $- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{x}} d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.3.1

Negative o expoente de $e^{x}$ e o mova para fora do denominador.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.3.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.3.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.3.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.3.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.3.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{- x} d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.3.2.2

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int e^{- x} d x + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.4

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.3.4.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.3.4.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.3.4.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 4.3.4.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int - e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - - \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.6

Simplifique.

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Etapa 4.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 1 \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.6.2

Multiplique $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.7

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} + \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3.8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} - \int e^{x} d x$

Etapa 4.3.9

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} - (e^{x} + C_{3})$

Etapa 4.3.10

Simplifique.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} - e^{x} + C_{4}$

Etapa 4.3.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{- x} - e^{x} + C_{4}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} = e^{- x} - e^{x} + K$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} y^{3}) = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $- 3 (- \frac{1}{3} y^{3})$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Combine $y^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{y^{3}}{3}) = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.1.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y^{3}}{3}$ para o numerador.

$- 3 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Etapa 5.2.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$3 \cdot - 1 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Etapa 5.2.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$- - y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Etapa 5.2.1.1.3

Multiplique.

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Etapa 5.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Etapa 5.2.1.1.3.2

Multiplique $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $- 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} = - 3 e^{- x} - 3 (- e^{x}) - 3 K$

Etapa 5.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$y^{3} = - 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K$

Etapa 5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{- 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K}$

Etapa 5.4

Fatore $3$ de $- 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $3$ de $- 3 e^{- x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 e^{x} - 3 K}$

Etapa 5.4.2

Fatore $3$ de $3 e^{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x}) - 3 K}$

Etapa 5.4.3

Fatore $3$ de $- 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x}) + 3 (- K)}$

Etapa 5.4.4

Fatore $3$ de $3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x})$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x}) + 3 (- K)}$

Etapa 5.4.5

Fatore $3$ de $3 (- e^{- x} + e^{x}) + 3 (- K)$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x} - K)}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x} + K)}$