Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + x y = y$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Subtraia $x y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = y - x y$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $y - x y$ .

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Etapa 1.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} - x y$

Etapa 1.2.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 - x y$

Etapa 1.2.3

Fatore $y$ de $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y (- x)$

Etapa 1.2.4

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 - x)$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 - x))$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 - x))$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 - x$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = (1 - x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 - x d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - x d x$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - x d x$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int x d x$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6

Reordene os termos.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + x + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + x + C} = | y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + x + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

Etapa 3.3.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} + x + C}$

Etapa 3.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + x + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{- \frac{x^{2}}{2} + x + C}$ como $e^{- \frac{x^{2}}{2} + x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + x} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{- \frac{x^{2}}{2} + x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2} + x}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{- \frac{x^{2}}{2} + x}$