Cálculo Exemplos

$(1 + y) d x + (1 - x^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(1 + y) d x$ dos dois lados da equação.

$(1 - x^{2}) d y = - (1 + y) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)}$ .

$\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 - x^{2}) d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $1 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 - x^{2}) d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 + y) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $1 + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)}$ para o numerador.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 + y) d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $1 + y$ de $(1 - x^{2}) (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x^{2})} (1 + y) d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x^{2})} (1 + y) d x$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{1 - x^{2}} d x$

Etapa 3.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{1^{2} - x^{2}} d x$

Etapa 3.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Deixe $u_{1} = 1 + y$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Deixe $u_{1} = 1 + y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Etapa 4.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 4.2.1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 4.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 4.2.1.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 4.2.2

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 4.3.2

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Etapa 4.3.2.1.2

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.5

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.6.1

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.6.1.2

Divida $(A) (1 - x)$ por $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.6.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.6.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.6.5

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.6.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.6.5.2

Divida $(B) (1 + x)$ por $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Etapa 4.3.2.1.6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Etapa 4.3.2.1.6.7

Multiplique $B$ por $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Etapa 4.3.2.1.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.7.1

Mova $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Etapa 4.3.2.1.7.2

Reordene $B$ e $x$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Etapa 4.3.2.1.7.3

Mova $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Etapa 4.3.2.1.7.4

Mova $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Etapa 4.3.2.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 1 A + B$

Etapa 4.3.2.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 4.3.2.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Etapa 4.3.2.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Resolva $A$ em $1 = A + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 4.3.2.3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 4.3.2.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = - 1 A + B$ por $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.2.1

Simplifique $- 1 (1 - B) + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.2.2.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1 (- B)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.2.2.1.1.3.2

Multiplique $B$ por $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.2.2.1.2

Some $B$ e $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.3

Resolva $B$ em $0 = - 1 + 2 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.3.1

Reescreva a equação como $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.3.3

Divida cada termo em $2 B = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.3.3.1

Divida cada termo em $2 B = 1$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{1}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - B$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.2.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.4.2.1

Simplifique $1 - (\frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.4.2.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.2.3.4.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.2.3.4.2.1.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.2.3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.2.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.5.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.5.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Etapa 4.3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Etapa 4.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Etapa 4.3.5

Deixe $u_{2} = 1 + x$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Deixe $u_{2} = 1 + x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1.1

Diferencie $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 4.3.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.5.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.5.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 4.3.5.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 4.3.5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Etapa 4.3.6

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Etapa 4.3.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

Etapa 4.3.8

Deixe $u_{3} = 1 - x$ . Depois, $d u_{3} = - d x$ , então, $- d u_{3} = d x$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.1

Deixe $u_{3} = 1 - x$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 4.3.8.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.3.8.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{3}} d u_{3})$

Etapa 4.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Etapa 4.3.10

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Etapa 4.3.11

A integral de $\frac{1}{u_{3}}$ com relação a $u_{3}$ é $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{3} |) + C_{3})))$

Etapa 4.3.12

Simplifique.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| u_{2} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Etapa 4.3.13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + x$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Etapa 4.3.13.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $1 - x$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C_{4}$

Etapa 4.3.14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.14.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \frac{\ln (| 1 + x |) - \ln (| 1 - x |)}{2} + C_{4}$

Etapa 4.3.14.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C_{4}$

Etapa 4.3.15

Reordene os termos.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C_{4}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Combine $\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) = - \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| 1 + y |) + \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Etapa 5.3

Para escrever $\ln (| 1 + y |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Etapa 5.4

Simplifique os termos.

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Etapa 5.4.1

Combine $\ln (| 1 + y |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Etapa 5.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2 + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Etapa 5.5

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (| 1 + y |)$ .

$\frac{2 \ln (| 1 + y |) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Etapa 5.6

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.6.1

Simplifique $\frac{2 \ln (| 1 + y |) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2}$ .

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Etapa 5.6.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.6.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| 1 + y |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln ({| 1 + y |}^{2}) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Etapa 5.6.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| 1 + y |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\frac{\ln ({(1 + y)}^{2}) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Etapa 5.6.1.1.3

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(1 + y)}^{2} \frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Etapa 5.6.1.1.4

Combine ${(1 + y)}^{2}$ e $\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}$ .

$\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Etapa 5.6.1.2

Reescreva $\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |}) = C$

Etapa 5.6.1.3

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({(\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 5.6.1.4

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 5.6.1.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |}$ .

$\ln (\frac{{({(1 + y)}^{2} | 1 + x |)}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 5.6.1.4.2

Aplique a regra do produto a ${(1 + y)}^{2} | 1 + x |$ .

$\ln (\frac{{({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 5.6.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.6.1.5.1

Multiplique os expoentes em ${({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.6.1.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 5.6.1.5.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.6.1.5.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 5.6.1.5.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{1} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 5.6.1.5.2

Simplifique.

$\ln (\frac{(1 + y) {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 5.6.1.6

Reordene os fatores em $\ln (\frac{(1 + y) {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 5.7

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Etapa 5.8

Reescreva $\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.9

Resolva $y$ .

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Etapa 5.9.1

Reescreva a equação como $\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Etapa 5.9.2

Multiplique os dois lados por ${| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.9.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.9.3.1

Simplifique $\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.9.3.1.1

Cancele o fator comum de ${| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.9.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.9.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y) = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.9.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} y = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.9.3.1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.9.3.1.3.1

Multiplique ${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} + {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} y = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.9.3.1.3.2

Reordene os fatores em ${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} + {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} y$ .

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.9.3.1.3.3

Reordene $1$ e $x$ .

${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.9.3.1.3.4

Reordene $1$ e $x$ .

${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} + y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.9.3.1.3.5

Reordene ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ e $y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.9.4

Resolva $y$ .

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Etapa 5.9.4.1

Subtraia ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ dos dois lados da equação.

$y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.9.4.2

Divida cada termo em $y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ por ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ e simplifique.

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Etapa 5.9.4.2.1

Divida cada termo em $y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ por ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.9.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.9.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.9.4.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.9.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.9.4.2.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{C {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$