Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = 2 \sqrt{t}$ , $y (1) = 4$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = 2 \sqrt{t} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 2 \sqrt{t} d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 2 \sqrt{t} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 2 \int \sqrt{t} d t$

Etapa 2.3.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 2 \int t^{\frac{1}{2}} d t$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{\frac{1}{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.4.1

Reescreva $2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ como $2 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.2.1

Combine $2$ e $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $1$ por $t$ e $4$ por $y$ em $y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ .

$4 = \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 4$ .

$\frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 4$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{4}{3} \cdot 1 + K = 4$

Etapa 4.2.2

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $1$ .

$\frac{4}{3} + K = 4$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $\frac{4}{3}$ dos dois lados da equação.

$K = 4 - \frac{4}{3}$

Etapa 4.3.2

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Etapa 4.3.3

Combine $4$ e $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Etapa 4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 4}{3}$

Etapa 4.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$K = \frac{12 - 4}{3}$

Etapa 4.3.5.2

Subtraia $4$ de $12$ .

$K = \frac{8}{3}$

Etapa 5

Substitua $\frac{8}{3}$ por $K$ em $y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $\frac{8}{3}$ por $K$ .

$y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{8}{3}$

Etapa 5.2

Combine $\frac{4}{3}$ e $t^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8}{3}$