Cálculo Exemplos

$\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$ por $N$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$ por $N$ .

$\frac{\frac{d N}{d t} N}{N} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d N}{d t} N}{N} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d N}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d N}{d t} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Cancele o fator comum de $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d N}{d t} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Etapa 1.1.3.1.2

Divida $t e^{t + 2}$ por $1$ .

$\frac{d N}{d t} = t e^{t + 2}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação.

$d N = t e^{t + 2} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d N = \int t e^{t + 2} d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$N + C_{1} = \int t e^{t + 2} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t$ e $d v = e^{t + 2}$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{t + 2} d t$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = t + 2$ . Depois, $d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = t + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $t + 2$ .

$\frac{d}{d t} [t + 2]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 2$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [2]$

Etapa 2.3.2.1.4

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2$ em relação a $t$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.3

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - (e^{u} + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{u} + C_{2}$

Etapa 2.3.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t + 2$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{t + 2} + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Reordene os termos.

$N + C_{1} = e^{t + 2} t - e^{t + 2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$N = e^{t + 2} t - e^{t + 2} + K$