Cálculo Exemplos

$(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (y) - 2 x y e^{y}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y \ln (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y \ln (y)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = \ln (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\ln (y)$ em relação a $y$ é $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{1}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{1}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Etapa 1.3.4

Combine $y$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Etapa 1.3.5

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Etapa 1.3.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Etapa 1.3.6

Multiplique $\ln (y)$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 x y e^{y}$ em relação a $y$ é $- 2 x \frac{d}{d y} [y e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x \frac{d}{d y} [y e^{y}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = e^{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y \frac{d}{d y} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 1.4.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ é $a^{y} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 1.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y} \cdot 1)$

Etapa 1.4.5

Multiplique $e^{y}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y}) - 2 x e^{y}$

Etapa 1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x y e^{y} - 2 x e^{y}$

Etapa 1.5.3

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x (1 - x y e^{y})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (1 - x y e^{y})]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 1 - x y e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [1 - x y e^{y}] + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x y e^{y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x y e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [- x y e^{y}] + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4

Como $- y e^{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y e^{y}$ em relação a $x$ é $- y e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y} \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y} \cdot 1) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + (1 - x y e^{y}) \cdot 1$

Etapa 2.3.8

Multiplique $1 - x y e^{y}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + 1 - x y e^{y}$

Etapa 2.4

Subtraia $x y e^{y}$ de $x (- y e^{y})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Reordene $x$ e $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot x y e^{y} - x y e^{y} + 1$

Etapa 2.4.2

Subtraia $x y e^{y}$ de $- 1 \cdot x y e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y e^{y} + 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 x y e^{y} + 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y) = - 2 x y e^{y} + 1$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y) = - 2 x y e^{y} + 1$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- 2 x y e^{y} + 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y))}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ por $M$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y))}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y) - (- 2 e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) - (- 2 e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Etapa 4.3.2.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) + 2 (e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Etapa 4.3.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) + 2 (e^{y} x) - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Etapa 4.3.2.3

Remova os parênteses.

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 e^{y} x y + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Etapa 4.3.2.4

Some $- 2 x y e^{y}$ e $2 e^{y} x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1

Mova $e^{y}$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 2 x y e^{y} + 1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Etapa 4.3.2.4.2

Some $- 2 x y e^{y}$ e $2 x y e^{y}$ .

$\frac{0 + 1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Etapa 4.3.2.5

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Etapa 4.3.2.6

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{2 e^{y} x + 0 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Etapa 4.3.2.7

Some $2 e^{y} x$ e $0$ .

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Etapa 4.3.3

Fatore $y$ de $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $y$ de $y \ln (y)$ .

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y)) - 2 x y e^{y}}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $y$ de $- 2 x y e^{y}$ .

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $y$ de $y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})$ .

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $2 e^{y} x - \ln (y)$ e $\ln (y) - 2 x e^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Fatore $- 1$ de $2 e^{y} x$ .

$\frac{- (- 2 e^{y} x) - \ln (y)}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Etapa 4.3.4.2

Fatore $- 1$ de $- \ln (y)$ .

$\frac{- (- 2 e^{y} x) - (\ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Etapa 4.3.4.3

Fatore $- 1$ de $- (- 2 e^{y} x) - (\ln (y))$ .

$\frac{- (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Etapa 4.3.4.4

Reescreva $- (- 2 e^{y} x + \ln (y))$ como $- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))$ .

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Etapa 4.3.4.5

Reordene os termos.

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (- 2 e^{y} x + \ln (y))}$

Etapa 4.3.4.6

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (- 2 e^{y} x + \ln (y))}$

Etapa 4.3.4.7

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{y}$

Etapa 4.3.5

Substitua $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ por $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Simplifique $- \ln (| y |)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Etapa 5.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ por $\frac{1}{y}$ .

$(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) \frac{1}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Etapa 6.3

Fatore $y$ de $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore $y$ de $y \ln (y)$ .

$\frac{y (\ln (y)) - 2 x y e^{y}}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Fatore $y$ de $- 2 x y e^{y}$ .

$\frac{y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Etapa 6.3.3

Fatore $y$ de $y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})$ .

$\frac{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Etapa 6.4.2

Divida $\ln (y) - 2 x e^{y}$ por $1$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $x (1 - x y e^{y})$ por $\frac{1}{y}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) \frac{1}{y} d y = 0$

Etapa 6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x \cdot 1 + x (- x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

Etapa 6.7

Multiplique $x$ por $1$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x + x (- x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

Etapa 6.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x (x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

Etapa 6.9

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.9.1

Mova $x$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - (x \cdot x) (y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

Etapa 6.9.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x^{2} (y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x^{2} y e^{y}) \frac{1}{y} d y = 0$

Etapa 6.10

Multiplique $x - x^{2} y e^{y}$ por $\frac{1}{y}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

Etapa 6.11

Fatore $x$ de $x - x^{2} y e^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.11.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x^{1} - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

Etapa 6.11.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x \cdot 1 - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

Etapa 6.11.3

Fatore $x$ de $- x^{2} y e^{y}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x \cdot 1 + x (- x y e^{y})}{y} d y = 0$

Etapa 6.11.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- x y e^{y})$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x (1 - x y e^{y})}{y} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \ln (y) - 2 x e^{y} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = \ln (y) - 2 x e^{y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int \ln (y) d x + \int - 2 x e^{y} d x$

Etapa 8.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \ln (y) x + C + \int - 2 x e^{y} d x$

Etapa 8.3

Como $- 2 e^{y}$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2 e^{y}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \ln (y) x + C - 2 e^{y} \int x d x$

Etapa 8.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + C - 2 e^{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 8.5

Simplifique.

$f (x, y) = \ln (y) x - 2 \cdot \frac{1}{2} e^{y} x^{2} + C$

Etapa 8.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{- 2}{2} e^{y} x^{2} + C$

Etapa 8.6.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2} e^{y} x^{2} + C$

Etapa 8.6.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} e^{y} x^{2} + C$

Etapa 8.6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} e^{y} x^{2} + C$

Etapa 8.6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{- 1}{1} e^{y} x^{2} + C$

Etapa 8.6.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\ln (y) x]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\ln (y) x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Etapa 11.3.2

A derivada de $\ln (y)$ em relação a $y$ é $\frac{1}{y}$ .

$x \frac{1}{y} + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Etapa 11.3.3

Combine $x$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x}{y} + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Etapa 11.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}]$ .

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Etapa 11.4.1

Como $- x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- e^{y} x^{2}$ em relação a $y$ é $- x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{x}{y} - x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Etapa 11.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ é $a^{y} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{x}{y} - x^{2} e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{x}{y} - x^{2} e^{y} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Etapa 11.6

Simplifique.

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Etapa 11.6.1

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - e^{y} x^{2} + \frac{x}{y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Etapa 11.6.2

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d y} - e^{y} x^{2} + \frac{x}{y}$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x}{y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $\frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x}{y} - \frac{x (1 - x y e^{y})}{y} = 0$

Etapa 12.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x (1 - x y e^{y})}{y} = 0$

Etapa 12.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x \cdot 1 - x (- x y e^{y})}{y} = 0$

Etapa 12.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - x (- x y e^{y})}{y} = 0$

Etapa 12.1.3.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 12.1.3.3.1

Mova $x$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - (x \cdot x) (- y e^{y})}{y} = 0$

Etapa 12.1.3.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - x^{2} (- y e^{y})}{y} = 0$

Etapa 12.1.3.4

Multiplique $- x^{2} (- y e^{y})$ .

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Etapa 12.1.3.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + 1 x^{2} (y e^{y})}{y} = 0$

Etapa 12.1.3.4.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + x^{2} (y e^{y})}{y} = 0$

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

Etapa 12.1.4

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{0 + x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

Etapa 12.1.5

Some $0$ e $x^{2} y e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

Etapa 12.1.6

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 12.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

Etapa 12.1.6.2

Divida $x^{2} e^{y}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + x^{2} e^{y} = 0$

Etapa 12.1.7

Combine os termos opostos em $\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + x^{2} e^{y}$ .

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Etapa 12.1.7.1

Some $- x^{2} e^{y}$ e $x^{2} e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Etapa 12.1.7.2

Some $\frac{d g}{d y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Etapa 13.3

A integral de $0$ com relação a $y$ é $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Etapa 13.4

Some $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$

Etapa 15

Reordene os fatores em $f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = x \ln (y) - x^{2} e^{y} + C$