Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- \frac{2}{3}}$ , $y (- 1) = - 5$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{2}{3}}$ com relação a $x$ é $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$y + C_{1} = 3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2})$ como $3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$y + C_{1} = 9 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $- 1$ por $x$ e $- 5$ por $y$ em $y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$ .

$- 5 = 9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$ .

$9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} + K = - 5$

Etapa 4.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$9 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} + K = - 5$

Etapa 4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$9 {(- 1)}^{1} + K = - 5$

Etapa 4.2.4

Avalie o expoente.

$9 \cdot - 1 + K = - 5$

Etapa 4.2.5

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$- 9 + K = - 5$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Some $9$ aos dois lados da equação.

$K = - 5 + 9$

Etapa 4.3.2

Some $- 5$ e $9$ .

$K = 4$

Etapa 5

Substitua $4$ por $K$ em $y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $4$ por $K$ .

$y = 9 x^{\frac{1}{3}} + 4$