Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{3} (y - 3)$ , $y (0) = 6$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y - 3}$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} (x^{3} (y - 3))$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y - 3$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $y - 3$ de $x^{3} (y - 3)$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} ((y - 3) x^{3})$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} ((y - 3) x^{3})$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y - 3} d y = x^{3} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y - 3} d y = \int x^{3} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = y - 3$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = y - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 3$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 3$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x^{3} d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x^{3} d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y - 3$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \int x^{3} d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y - 3 |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y - 3 |)} = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y - 3 |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{4} x^{4} + C} = | y - 3 |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y - 3 | = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$ .

$| y - 3 | = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$

Etapa 3.3.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$| y - 3 | = e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$

Etapa 3.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y - 3 = \pm e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$

Etapa 3.3.4

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = \pm e^{\frac{x^{4}}{4} + C} + 3$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$ como $e^{\frac{x^{4}}{4}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{4}}{4}} e^{C} + 3$

Etapa 4.2

Reordene $e^{\frac{x^{4}}{4}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $6$ por $y$ em $y = C e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$ .

$6 = C e^{\frac{0^{4}}{4}} + 3$

Etapa 6

Resolva $C$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $C e^{\frac{0^{4}}{4}} + 3 = 6$ .

$C e^{\frac{0^{4}}{4}} + 3 = 6$

Etapa 6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$C e^{\frac{0}{4}} + 3 = 6$

Etapa 6.2.2

Divida $0$ por $4$ .

$C e^{0} + 3 = 6$

Etapa 6.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$C \cdot 1 + 3 = 6$

Etapa 6.2.4

Multiplique $C$ por $1$ .

$C + 3 = 6$

Etapa 6.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.3.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$C = 6 - 3$

Etapa 6.3.2

Subtraia $3$ de $6$ .

$C = 3$

Etapa 7

Substitua $3$ por $C$ em $y = C e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Substitua $3$ por $C$ .

$y = 3 e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$