Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + x y = 3 x$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = x$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int x d x}$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

Etapa 1.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} (3 x)$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = 3 e^{\frac{x^{2}}{2}} x$

Etapa 2.3

Reordene os fatores em $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = 3 e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = 3 x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = 3 x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int 3 x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int 3 x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 \int x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Etapa 6.2

Deixe $u_{2} = e^{\frac{x^{2}}{2}}$ . Depois, $d u_{2} = x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$ , então, $\frac{1}{x e^{\frac{x^{2}}{2}}} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.2.1

Deixe $u_{2} = e^{\frac{x^{2}}{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Diferencie $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}}]$

Etapa 6.2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ .

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Etapa 6.2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 6.2.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 6.2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 6.2.1.3

Diferencie.

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Etapa 6.2.1.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 6.2.1.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 6.2.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Etapa 6.2.1.3.4

Simplifique os termos.

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Etapa 6.2.1.3.4.1

Combine $2$ e $\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Etapa 6.2.1.3.4.2

Combine $\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Etapa 6.2.1.3.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.3.4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Etapa 6.2.1.3.4.3.2

Divida $e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ por $1$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} x$

Etapa 6.2.1.3.4.4

Reordene os fatores em $e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ .

$x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 6.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 \int d u_{2}$

Etapa 6.3

Aplique a regra da constante.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 (u_{2} + C)$

Etapa 6.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.4.1

Simplifique.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 u_{2} + C$

Etapa 6.4.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 e^{\frac{x^{2}}{2}} + C$

Etapa 6.4.3

Reordene os termos.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ por $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ por $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{3 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{3 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{3 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ e $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Etapa 7.3.1.1.1

Fatore $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ de $3 e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (3 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (3 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (3 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{3 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.1.2.4

Divida $3 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ por $1$ .

$y = 3 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1.2.1

Fatore $x^{2}$ de $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

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Etapa 7.3.1.2.1.1

Fatore $x^{2}$ de $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$y = 3 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.2.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$y = 3 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.2.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = 3 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y = 3 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y = 3 e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.2.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$y = 3 e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $0$ .

$y = 3 e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.4

Divida $0$ por $2$ .

$y = 3 e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$y = 3 \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Etapa 7.3.1.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$y = 3 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$