Cálculo Exemplos

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + (x y) d y = 0$

Etapa 1

Escreva o problema como uma expressão matemática.

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + (x y) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + x$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + x]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2} + x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 2.3

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 2.5

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Etapa 2.6

Combine os termos.

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Etapa 2.6.1

Some $0$ e $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Etapa 2.6.2

Some $2 y$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x y$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Etapa 3.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = y$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 y = y$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 5.2

Substitua $y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - y}{N}$

Etapa 5.3

Substitua $x y$ por $N$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $x y$ por $N$ .

$\frac{2 y - y}{x y}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $y$ de $2 y$ .

$\frac{y}{x y}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x y}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Etapa 6.1

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Etapa 6.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.2.1

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Etapa 6.2.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = | x | + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $(x^{2} + y^{2} + x) d x + x y d y = 0$ pelo fator de integração $x$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $x^{2} + y^{2} + x$ por $x$ .

$(x^{2} + y^{2} + x) x d x + x y d y = 0$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} x + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 7.3.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x^{2} x^{1} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Etapa 7.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x^{2 + 1} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Etapa 7.3.1.2

Some $2$ e $1$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Etapa 7.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x y d y = 0$

Etapa 7.4

Multiplique $x y$ por $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x y x d y = 0$

Etapa 7.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.5.1

Mova $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x \cdot x y d y = 0$

Etapa 7.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x^{2} y d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} y d y$

Etapa 9

Integre $N (x, y) = x^{2} y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Como $x^{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $x^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = x^{2} \int y d y$

Etapa 9.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 9.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.3.1

Reescreva $x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 9.3.2

Simplifique.

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Etapa 9.3.2.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

Etapa 9.3.2.2

Combine $\frac{x^{2}}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + C$

Etapa 9.3.3

Reordene os termos.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

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Etapa 12.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Etapa 12.3.2

Combine $\frac{x^{2}}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Etapa 12.3.3

Como $\frac{y^{2}}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Etapa 12.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Etapa 12.3.5

Combine $2$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Etapa 12.3.6

Combine $\frac{2 y^{2}}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Etapa 12.3.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.3.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Etapa 12.3.7.2

Divida $y^{2} x$ por $1$ .

$y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} x + \frac{d g}{d x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Etapa 12.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 13.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 13.1.1

Subtraia $y^{2} x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2} - y^{2} x$

Etapa 13.1.2

Combine os termos opostos em $x^{3} + y^{2} x + x^{2} - y^{2} x$ .

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Etapa 13.1.2.1

Subtraia $y^{2} x$ de $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2} + 0$

Etapa 13.1.2.2

Some $x^{3} + x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $x^{3} + x^{2}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} + x^{2} d x$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{3} + x^{2} d x$

Etapa 14.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (x) = \int x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Etapa 14.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int x^{2} d x$

Etapa 14.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 14.6

Simplifique.

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 15

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 16

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 16.2

Combine $\frac{x^{2}}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 16.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Etapa 16.4

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} + C$