Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$

Etapa 1

Assuma que todas as soluções são da forma $y = e^{r x}$ .

Etapa 2

Encontre a equação característica para $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$ .

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Etapa 2.3

Substitua na equação diferencial.

$r^{2} e^{r x} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

Etapa 2.4

Fatore $e^{r x}$ .

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Etapa 2.4.1

Fatore $e^{r x}$ de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

Etapa 2.4.2

Fatore $e^{r x}$ de $4 e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4 = \cos (2 x)$

Etapa 2.4.3

Fatore $e^{r x}$ de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4) = \cos (2 x)$

Etapa 2.5

Como as exponenciais nunca podem ser zero, divida ambos os lados por $e^{r x}$ .

$r^{2} + 4 = \cos (2 x)$

Etapa 3

Resolva $r$ .

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Etapa 3.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$r^{2} + 4 = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

Etapa 3.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$r^{2} = 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Subtraia $4$ de $1$ .

$r^{2} = - 3 - 2 \sin^{2} (x)$

Etapa 3.4

Resolva a equação para $r$ .

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Etapa 3.4.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$r = \pm \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Etapa 3.4.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Etapa 3.4.2.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Etapa 3.4.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Etapa 4

Com os dois valores encontrados de $r$ , duas soluções podem ser construídas.

$y_{1} = e^{\sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x}$

$y_{2} = e^{- \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x}$

Etapa 5

Pelo princípio da superposição, a solução geral é uma combinação linear das duas soluções para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.

$y = c_{1} e^{\sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x} + c_{2} e^{- \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x}$