Cálculo Exemplos

$\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y + (x y^{2} - y) d x = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva.

$(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x y^{2} - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} - y]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y^{2} - y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y^{2}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $x$ de $3 x^{2} y - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Fatore $x$ de $3 x^{2} y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) - 4 x}{2}]$

Etapa 3.2.1.2

Fatore $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2}]$

Etapa 3.2.1.3

Fatore $x$ de $x (3 x y) + x \cdot - 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y - 4)}{2}]$

Etapa 3.2.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 3 x y - 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [3 x y - 4] + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x y - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4.2

Como $3 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x y$ em relação a $x$ é $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + 0) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.6.1

Some $3 y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 \cdot x y + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + (3 x y - 4) \cdot 1)$

Etapa 3.4.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.8.1

Multiplique $3 x y - 4$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + 3 x y - 4)$

Etapa 3.4.8.2

Some $3 x y$ e $3 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y - 4)$

Etapa 3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Etapa 3.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6}{2} (x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Etapa 3.5.2.2

Combine $x$ e $\frac{6}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6}{2} y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Etapa 3.5.2.3

Combine $\frac{x \cdot 6}{2}$ e $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6 y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Etapa 3.5.2.4

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6 \cdot x y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Etapa 3.5.2.5

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.5.1

Fatore $2$ de $6 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Etapa 3.5.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 (1)} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Etapa 3.5.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Etapa 3.5.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{3 x y}{1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Etapa 3.5.2.5.2.4

Divida $3 x y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Etapa 3.5.2.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 4}{2}$

Etapa 3.5.2.7

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.7.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Etapa 3.5.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Etapa 3.5.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 2}{1}$

Etapa 3.5.2.7.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y - 2$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $2 x y - 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 x y - 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $3 x y - 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x y - 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 5.2

Substitua $2 x y - 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{M}$

Etapa 5.3

Substitua $x y^{2} - y$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua $x y^{2} - y$ por $M$ .

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{x y^{2} - y}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

Etapa 5.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) + 1}{x y^{2} - y}$

Etapa 5.3.2.4

Subtraia $2 x y$ de $3 x y$ .

$\frac{1 x y - 2 + 1}{x y^{2} - y}$

Etapa 5.3.2.5

Some $- 2$ e $1$ .

$\frac{1 x y - 1}{x y^{2} - y}$

Etapa 5.3.2.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x y - 1}{x y^{2} - y}$

Etapa 5.3.3

Fatore $y$ de $x y^{2} - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Fatore $y$ de $x y^{2}$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y) - y}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y) + y \cdot - 1}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $y$ de $y (x y) + y \cdot - 1$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

Etapa 5.3.4

Substitua $x y^{2} - y$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

Etapa 5.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Etapa 6.2

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Etapa 6.2.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = | y | + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$ pelo fator de integração $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $x y^{2} - y$ por $y$ .

$(x y^{2} - y) y d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x y^{2} y - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Mova $y$ .

$(x (y \cdot y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Etapa 7.3.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$(x (y^{1} y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Etapa 7.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x y^{1 + 2} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Etapa 7.3.3

Some $1$ e $2$ .

$(x y^{3} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Etapa 7.4

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Mova $y$ .

$(x y^{3} - (y \cdot y)) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Etapa 7.4.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Etapa 7.5

Multiplique $\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ por $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} y d y = 0$

Etapa 7.6

Fatore $x$ de $3 x^{2} y - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Fatore $x$ de $3 x^{2} y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) - 4 x}{2} y d y = 0$

Etapa 7.6.2

Fatore $x$ de $- 4 x$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2} y d y = 0$

Etapa 7.6.3

Fatore $x$ de $x (3 x y) + x \cdot - 4$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4)}{2} y d y = 0$

Etapa 7.7

Combine $\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ e $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4) y}{2} d y = 0$

Etapa 7.8

Reordene os fatores em $\frac{x (3 x y - 4) y}{2}$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y$

Etapa 9

Integre $N (x, y) = \frac{x y (3 x y - 4)}{2}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Como $\frac{x}{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{x}{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y - 4) d y$

Etapa 9.2

Expanda $y (3 x y - 4)$ .

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Etapa 9.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y) + y \cdot - 4 d y$

Etapa 9.2.2

Mova os parênteses.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x) y + y \cdot - 4 d y$

Etapa 9.2.3

Remova os parênteses.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y \cdot 3 x y + y \cdot - 4 d y$

Etapa 9.2.4

Reordene $y$ e $3$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 \cdot y x y + y \cdot - 4 d y$

Etapa 9.2.5

Reordene $y$ e $- 4$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 y x y - 4 y d y$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y) - 4 y d y$

Etapa 9.3.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y^{1}) - 4 y d y$

Etapa 9.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{1 + 1} - 4 y d y$

Etapa 9.3.4

Some $1$ e $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{2} - 4 y d y$

Etapa 9.4

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (\int 3 x y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

Etapa 9.5

Como $3 x$ é constante com relação a $y$ , mova $3 x$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x \int y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

Etapa 9.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 y d y)$

Etapa 9.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) + \int - 4 y d y)$

Etapa 9.8

Como $- 4$ é constante com relação a $y$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 \int y d y)$

Etapa 9.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Etapa 9.10

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{y^{2}}{2} + C))$

Etapa 9.11

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Etapa 9.12

Reordene os termos.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \frac{x}{2}$ e $g (x) = x y^{3} - 2 y^{2}$ .

$\frac{x}{2} \frac{d}{d x} [x y^{3} - 2 y^{2}] + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y^{3} - 2 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{x}{2} (\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.3.4

Como $y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y^{3}$ em relação a $x$ é $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.3.6

Como $- 2 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.3.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.3.9

Multiplique $y^{3}$ por $1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.3.10

Some $y^{3}$ e $0$ .

$\frac{x}{2} y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.3.11

Combine $\frac{x}{2}$ e $y^{3}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.3.12

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.3.13

Para escrever $(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.3.14

Combine $(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + \frac{(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.3.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.3.16

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.3.17

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.3.17.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.3.17.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \cdot 1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.3.18

Multiplique $x y^{3} - 2 y^{2}$ por $1$ .

$\frac{x y^{3} + x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.3.19

Some $x y^{3}$ e $x y^{3}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.5

Simplifique.

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Etapa 12.5.1

Combine os termos.

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Etapa 12.5.1.1

Para escrever $\frac{d g}{d x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} \cdot \frac{2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.5.1.2

Combine $\frac{d g}{d x}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{\frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + \frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.5.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \cdot \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.5.1.5

Cancele o fator comum de $2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}$ e $2$ .

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Etapa 12.5.1.5.1

Fatore $2$ de $2 x y^{3}$ .

$\frac{2 (x y^{3}) - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.5.1.5.2

Fatore $2$ de $- 2 y^{2}$ .

$\frac{2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.5.1.5.3

Fatore $2$ de $2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2})$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.5.1.5.4

Fatore $2$ de $2 \frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.5.1.5.5

Fatore $2$ de $2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.5.1.5.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.5.1.5.6.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 (1)} = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.5.1.5.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 \cdot 1} = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.5.1.5.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}}{1} = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.5.1.5.6.4

Divida $x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}$ por $1$ .

$x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 12.5.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 13.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 13.1.1

Some $y^{2}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2} + y^{2}$

Etapa 13.1.2

Subtraia $y^{3} x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$

Etapa 13.1.3

Combine os termos opostos em $x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$ .

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Etapa 13.1.3.1

Some $- y^{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} + 0 - y^{3} x$

Etapa 13.1.3.2

Some $x y^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{3} x$

Etapa 13.1.3.3

Reorganize os fatores nos termos $x y^{3}$ e $- y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} x - y^{3} x$

Etapa 13.1.3.4

Subtraia $y^{3} x$ de $y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Etapa 14.3

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Etapa 14.4

Some $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Etapa 15

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Etapa 16

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Etapa 16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3}) + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Etapa 16.3

Multiplique $\frac{x}{2} (x y^{3})$ .

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Etapa 16.3.1

Combine $x$ e $\frac{x}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Etapa 16.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Etapa 16.3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x^{1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Etapa 16.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (x, y) = \frac{x^{1 + 1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Etapa 16.3.5

Some $1$ e $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Etapa 16.3.6

Combine $\frac{x^{2}}{2}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Etapa 16.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - 2 \frac{x}{2} y^{2} + C$

Etapa 16.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 16.5.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 (- 1) \frac{x}{2} y^{2} + C$

Etapa 16.5.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2} y^{2} + C$

Etapa 16.5.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - x y^{2} + C$