Cálculo Exemplos

$(2 x y + y^{3} \cos (x)) d x + (x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x y + y^{3} \cos (x)$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + y^{3} \cos (x)]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y + y^{3} \cos (x)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $\cos (x)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y^{3} \cos (x)$ em relação a $y$ é $\cos (x) \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \cos (x) \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \cos (x) (3 y^{2})$

Etapa 1.4.3

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 \cos (x) y^{2}$

Etapa 1.5

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $3 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y^{2} \sin (x)$ em relação a $x$ é $3 y^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y^{2} \cos (x)$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $3 y^{2} \cos (x) + 2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 y^{2} \cos (x) + 2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} \cos (x) + 2 x = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$3 y^{2} \cos (x) + 2 x = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + 3 y^{2} \sin (x) d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int x^{2} d y + \int 3 y^{2} \sin (x) d y$

Etapa 5.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x^{2} y + C + \int 3 y^{2} \sin (x) d y$

Etapa 5.3

Como $3 \sin (x)$ é constante com relação a $y$ , mova $3 \sin (x)$ para fora da integral.

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 \sin (x) \int y^{2} d y$

Etapa 5.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 \sin (x) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Etapa 5.5

Simplifique.

$f (x, y) = x^{2} y + 3 \sin (x) \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 5.6

Simplifique.

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Etapa 5.6.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{3}{3} \sin (x) y^{3} + C$

Etapa 5.6.2

Combine $\frac{3}{3}$ e $\sin (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{3 \sin (x)}{3} y^{3} + C$

Etapa 5.6.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.6.3.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{3 \sin (x)}{3} y^{3} + C$

Etapa 5.6.3.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Etapa 8.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Etapa 8.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}]$ .

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Etapa 8.4.1

Como $y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\sin (x) y^{3}$ em relação a $x$ é $y^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 y x + y^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Etapa 8.4.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 y x + y^{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + y^{3} \cos (x) + \frac{d g}{d x} = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Etapa 8.6

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y + y^{3} \cos (x) = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} \cos (x) = 2 x y + y^{3} \cos (x) - 2 x y$

Etapa 9.1.2

Subtraia $y^{3} \cos (x)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + y^{3} \cos (x) - 2 x y - y^{3} \cos (x)$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $2 x y + y^{3} \cos (x) - 2 x y - y^{3} \cos (x)$ .

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Etapa 9.1.3.1

Subtraia $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} \cos (x) + 0 - y^{3} \cos (x)$

Etapa 9.1.3.2

Some $y^{3} \cos (x)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} \cos (x) - y^{3} \cos (x)$

Etapa 9.1.3.3

Subtraia $y^{3} \cos (x)$ de $y^{3} \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Etapa 10.3

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Etapa 10.4

Some $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + C$

Etapa 12

Reordene os fatores em $f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} y + y^{3} \sin (x) + C$