Cálculo Exemplos

$(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ , $y (\frac{π}{4}) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ por $1 + \cos (2 x)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ por $1 + \cos (2 x)$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $1 + \cos (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação.

$d y = \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (2 x)} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.3.2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{1 + \cos (u_{1})}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{(1 + \cos (u_{1})) \cdot 2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $1 + \cos (u_{1})$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 (1 + \cos (u_{1}))} d u_{1}$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Etapa 2.3.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Etapa 2.3.5.2.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = 1 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Etapa 2.3.5.3

Multiplique $\int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Etapa 2.3.6

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (x)$ em $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Etapa 2.3.7

Use a fórmula de Pitágoras para transformar $1$ em $\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.1

Subtraia ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ de ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{{\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Etapa 2.3.8.2

Some ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ e ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Etapa 2.3.8.3

Some $2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ e $0$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Etapa 2.3.9

Multiplique o argumento por $\frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})}$

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Etapa 2.3.10

Combine.

$y + C_{1} = \int \frac{1 \sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Etapa 2.3.11

Multiplique ${\sec (\frac{u}{2})}^{2}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Etapa 2.3.12

Reescreva $\sec (\frac{u}{2})$ em termos de senos e cossenos.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2}} d u_{1}$

Etapa 2.3.13

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Etapa 2.3.14

Um elevado a qualquer potência é um.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Etapa 2.3.15

Multiplique $2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ .

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Etapa 2.3.15.1

Combine $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Etapa 2.3.15.2

Combine $\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ e $\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Etapa 2.3.16

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (\frac{u}{2}) \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Etapa 2.3.17

Reescreva $\sec (\frac{u}{2})$ em termos de senos e cossenos.

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2} \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Etapa 2.3.18

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cdot \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Etapa 2.3.19

Combine.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Etapa 2.3.20

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (\frac{u}{2})$ .

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Etapa 2.3.20.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Etapa 2.3.20.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Etapa 2.3.21

Um elevado a qualquer potência é um.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Etapa 2.3.22

Multiplique por $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 (\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \cdot 1)} d u_{1}$

Etapa 2.3.23

Separe as frações.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Etapa 2.3.24

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}$ em $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Etapa 2.3.25

Combine frações.

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Etapa 2.3.25.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Etapa 2.3.25.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.26

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Etapa 2.3.27

Deixe $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , então, $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.27.1

Deixe $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.27.1.1

Diferencie $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Etapa 2.3.27.1.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $\frac{u_{1}}{2}$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 2.3.27.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 2.3.27.1.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 2.3.27.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.28

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.28.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

Etapa 2.3.28.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \cdot 2 d u_{2}$

Etapa 2.3.28.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{2} (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.29

Como $2$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $2$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 2.3.30

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.30.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.30.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.30.2.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.30.2.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = 1 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.30.3

Multiplique $\int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.31

Como a derivada de $\tan (u_{2})$ é $\sec^{2} (u_{2})$ , a integral de $\sec^{2} (u_{2})$ é $\tan (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \tan (u_{2}) + C_{2}$

Etapa 2.3.32

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.32.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{u_{1}}{2}$ .

$y + C_{1} = \tan (\frac{u_{1}}{2}) + C_{2}$

Etapa 2.3.32.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

Etapa 2.3.33

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.33.1

Reduza a expressão $\frac{2 x}{2}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.33.1.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

Etapa 2.3.33.1.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \tan (\frac{x}{1}) + C_{2}$

Etapa 2.3.33.2

Divida $x$ por $1$ .

$y + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \tan (x) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ e $1$ por $y$ em $y = \tan (x) + K$ .

$1 = \tan (\frac{π}{4}) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$ .

$\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$1 + K = 1$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$K = 1 - 1$

Etapa 4.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$K = 0$

Etapa 5

Substitua $0$ por $K$ em $y = \tan (x) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $0$ por $K$ .

$y = \tan (x) + 0$

Etapa 5.2

Some $\tan (x)$ e $0$ .

$y = \tan (x)$