Cálculo Exemplos

$(y e^{x y} + 2 x - 1) d x + (x e^{x y} - 2 y + 1) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y e^{x y} + 2 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x y} + 2 x - 1]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y e^{x y} + 2 x - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y e^{x y}] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y e^{x y}] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y e^{x y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{u} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.3.3

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y])) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} (x \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.3.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.3.7

Multiplique $e^{x y}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} + \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} + 0 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 1.4.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} + 0 + 0$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Some $y (e^{x y} x) + e^{x y}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y} + 0$

Etapa 1.5.1.2

Some $y (e^{x y} x) + e^{x y}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{x y} x) + e^{x y}$

Etapa 1.5.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x y} x y + e^{x y}$

Etapa 1.5.3

Reordene os fatores em $e^{x y} x y + e^{x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x e^{x y} - 2 y + 1$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x y} - 2 y + 1]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x e^{x y} - 2 y + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x e^{x y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{x y}] + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.3

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} (y \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} (y \cdot 1)) + e^{x y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.7

Multiplique $e^{x y}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} + 0 + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Some $x (e^{x y} y) + e^{x y}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y} + 0$

Etapa 2.5.1.2

Some $x (e^{x y} y) + e^{x y}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{x y} y) + e^{x y}$

Etapa 2.5.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x y} x y + e^{x y}$

Etapa 2.5.3

Reordene os fatores em $e^{x y} x y + e^{x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y e^{x y} + e^{x y}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $x y e^{x y} + e^{x y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $x y e^{x y} + e^{x y}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$x y e^{x y} + e^{x y} = x y e^{x y} + e^{x y}$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x y} - 2 y + 1 d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = x e^{x y} - 2 y + 1$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int x e^{x y} d y + \int - 2 y d y + \int d y$

Etapa 5.2

Como $x$ é constante com relação a $y$ , mova $x$ para fora da integral.

$f (x, y) = x \int e^{x y} d y + \int - 2 y d y + \int d y$

Etapa 5.3

Deixe $u = x y$ . Depois, $d u = x d y$ , então, $\frac{1}{x} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.3.1

Deixe $u = x y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 5.3.1.1

Diferencie $x y$ .

$\frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 5.3.1.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 5.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \cdot 1$

Etapa 5.3.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$x$

Etapa 5.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$f (x, y) = x \int e^{u} \frac{1}{x} d u + \int - 2 y d y + \int d y$

Etapa 5.4

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = x \int \frac{e^{u}}{x} d u + \int - 2 y d y + \int d y$

Etapa 5.5

Como $\frac{1}{x}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{x}$ para fora da integral.

$f (x, y) = x (\frac{1}{x} \int e^{u} d u) + \int - 2 y d y + \int d y$

Etapa 5.6

Simplifique.

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Etapa 5.6.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{x} \int e^{u} d u + \int - 2 y d y + \int d y$

Etapa 5.6.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{x}{x} \int e^{u} d u + \int - 2 y d y + \int d y$

Etapa 5.6.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = 1 \int e^{u} d u + \int - 2 y d y + \int d y$

Etapa 5.6.3

Multiplique $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int - 2 y d y + \int d y$

Etapa 5.7

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C + \int - 2 y d y + \int d y$

Etapa 5.8

Como $- 2$ é constante com relação a $y$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 \int y d y + \int d y$

Etapa 5.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int d y$

Etapa 5.10

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + y + C$

Etapa 5.11

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 (\frac{y^{2}}{2} + C) + y + C$

Etapa 5.12

Simplifique.

$f (x, y) = e^{u} - y^{2} + y + C$

Etapa 5.13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$f (x, y) = e^{x y} - y^{2} + y + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x y} - y^{2} + y + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y e^{x y} + 2 x - 1$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x y} - y^{2} + y + g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x y} - y^{2} + y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{x y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Etapa 8.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Etapa 8.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Etapa 8.3.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x y} (y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Etapa 8.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x y} (y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Etapa 8.3.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$e^{x y} y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Como $- y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x y} y + 0 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Etapa 8.4.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x y} y + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y e^{x y} + 2 x - 1$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{x y} y + 0 + 0 + \frac{d g}{d x} = y e^{x y} + 2 x - 1$

Etapa 8.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1.1

Some $e^{x y} y$ e $0$ .

$e^{x y} y + 0 + \frac{d g}{d x} = y e^{x y} + 2 x - 1$

Etapa 8.6.1.2

Some $e^{x y} y$ e $0$ .

$e^{x y} y + \frac{d g}{d x} = y e^{x y} + 2 x - 1$

Etapa 8.6.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + e^{x y} y = y e^{x y} + 2 x - 1$

Etapa 8.6.3

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} + e^{x y} y$ .

$\frac{d g}{d x} + y e^{x y} = y e^{x y} + 2 x - 1$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Subtraia $y e^{x y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = y e^{x y} + 2 x - 1 - y e^{x y}$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $y e^{x y} + 2 x - 1 - y e^{x y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Subtraia $y e^{x y}$ de $y e^{x y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x - 1 + 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $2 x - 1$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x - 1$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $2 x - 1$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 2 x - 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x - 1 d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x - 1 d x$

Etapa 10.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (x) = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Etapa 10.4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (x) = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

Etapa 10.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x$

Etapa 10.6

Aplique a regra da constante.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C$

Etapa 10.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C$

Etapa 10.8

Simplifique.

$g (x) = x^{2} - x + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = e^{x y} - y^{2} + y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x y} - y^{2} + y + x^{2} - x + C$