Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d y} + \frac{2 x y}{y^{2}} - \frac{\sin (y)}{y^{2}} = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ .

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Etapa 1.1

Some $\frac{\sin (y)}{y^{2}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d x}{d y} + \frac{2 x y}{y^{2}} = \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Etapa 1.2

Fatore $x$ de $\frac{2 x y}{y^{2}}$ .

$\frac{d x}{d y} + x \frac{2 y}{y^{2}} = \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Etapa 1.3

Reordene $x$ e $\frac{2 y}{y^{2}}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{2 y}{y^{2}} x = \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (y) d y}$ , em que $P (y) = \frac{2 y}{y^{2}}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{2 y}{y^{2}} d y}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{2 y}{y^{2}}$ .

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $y$ de $2 y$ .

$e^{\int \frac{y \cdot 2}{y^{2}} d y}$

Etapa 2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.1.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$e^{\int \frac{y \cdot 2}{y \cdot y} d y}$

Etapa 2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{\int \frac{y \cdot 2}{y \cdot y} d y}$

Etapa 2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Etapa 2.2.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 2.2.3

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$e^{2 \ln (| y |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 \ln (y)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (y^{2})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$y^{2}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $y^{2}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{2 y}{y^{2}} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Fatore $y$ de $2 y$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{y \cdot 2}{y^{2}} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.1.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{y \cdot 2}{y \cdot y} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{y \cdot 2}{y \cdot y} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{2}{y} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{2}{y}$ e $x$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} \frac{2 x}{y} = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Etapa 3.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.2.3.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y \cdot y \frac{2 x}{y} = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Etapa 3.2.3.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y \cdot y \frac{2 x}{y} = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Etapa 3.2.3.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y (2 x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Etapa 3.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + 2 y x = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + 2 y x = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Etapa 3.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + 2 y x = \sin (y)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d y} [y^{2} x] = \sin (y)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d y} [y^{2} x] d y = \int \sin (y) d y$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$y^{2} x = \int \sin (y) d y$

Etapa 7

A integral de $\sin (y)$ com relação a $y$ é $- \cos (y)$ .

$y^{2} x = - \cos (y) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $y^{2} x = - \cos (y) + C$ por $y^{2}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $y^{2} x = - \cos (y) + C$ por $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} x}{y^{2}} = \frac{- \cos (y)}{y^{2}} + \frac{C}{y^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} x}{y^{2}} = \frac{- \cos (y)}{y^{2}} + \frac{C}{y^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \cos (y)}{y^{2}} + \frac{C}{y^{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\cos (y)}{y^{2}} + \frac{C}{y^{2}}$